ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sq11d Unicode version

Theorem sq11d 10425
Description: The square function is one-to-one for nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
resqcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
lt2sqd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
lt2sqd.3  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
lt2sqd.4  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
sq11d.5  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 ) )
Assertion
Ref Expression
sq11d  |-  ( ph  ->  A  =  B )

Proof of Theorem sq11d
StepHypRef Expression
1 sq11d.5 . 2  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 ) )
2 resqcld.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 lt2sqd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
4 lt2sqd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 lt2sqd.4 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
6 sq11 10333 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  <->  A  =  B
) )
72, 3, 4, 5, 6syl22anc 1202 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  =  ( B ^ 2 )  <-> 
A  =  B ) )
81, 7mpbid 146 1  |-  ( ph  ->  A  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    = wceq 1316    e. wcel 1465   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742   RRcr 7587   0cc0 7588    <_ cle 7769   2c2 8739   ^cexp 10260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-seqfrec 10187  df-exp 10261
This theorem is referenced by:  rsqrmo  10767  sqrtmul  10775  sqrtsq  10784  nn0sqrtelqelz  11811
  Copyright terms: Public domain W3C validator