ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sqabs Unicode version
Theorem sqabs 10854
Description: The squares of two reals are equal iff their absolute values are equal. (Contributed by NM, 6-Mar-2009.)
Assertion
Ref Expression
sqabs |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( abs ` A ) = ( abs ` B ) ) )
Proof of Theorem sqabs
StepHypRef Expression
1 resqcl 10360 . . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A ^ 2 ) e. RR )
2 sqge0 10369 . . . . 5 |- ( A e. RR -> 0 <_ ( A ^ 2 ) )
3 absid 10843 . . . . 5 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( A ^ 2 ) ) -> ( abs ` ( A ^ 2 ) ) = ( A ^ 2 ) )
41, 2, 3syl2anc 408 . . . 4 |- ( A e. RR -> ( abs ` ( A ^ 2 ) ) = ( A ^ 2 ) )
5 recn 7753 . . . . 5 |- ( A e. RR -> A e. CC )
6 2nn0 8994 . . . . 5 |- 2 e. NN0
7 absexp 10851 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( abs ` ( A ^ 2 ) ) = ( ( abs ` A ) ^ 2 ) )
85, 6, 7sylancl 409 . . . 4 |- ( A e. RR -> ( abs ` ( A ^ 2 ) ) = ( ( abs ` A ) ^ 2 ) )
94, 8eqtr3d 2174 . . 3 |- ( A e. RR -> ( A ^ 2 ) = ( ( abs ` A ) ^ 2 ) )
10 resqcl 10360 . . . . 5 |- ( B e. RR -> ( B ^ 2 ) e. RR )
11 sqge0 10369 . . . . 5 |- ( B e. RR -> 0 <_ ( B ^ 2 ) )
12 absid 10843 . . . . 5 |- ( ( ( B ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( B ^ 2 ) ) -> ( abs ` ( B ^ 2 ) ) = ( B ^ 2 ) )
1310, 11, 12syl2anc 408 . . . 4 |- ( B e. RR -> ( abs ` ( B ^ 2 ) ) = ( B ^ 2 ) )
14 recn 7753 . . . . 5 |- ( B e. RR -> B e. CC )
15 absexp 10851 . . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( abs ` ( B ^ 2 ) ) = ( ( abs ` B ) ^ 2 ) )
1614, 6, 15sylancl 409 . . . 4 |- ( B e. RR -> ( abs ` ( B ^ 2 ) ) = ( ( abs ` B ) ^ 2 ) )
1713, 16eqtr3d 2174 . . 3 |- ( B e. RR -> ( B ^ 2 ) = ( ( abs ` B ) ^ 2 ) )
189, 17eqeqan12d 2155 . 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( ( abs ` B ) ^ 2 ) ) )
19 abscl 10823 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
20 absge0 10832 . . . . 5 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( abs ` A ) )
2119, 20jca 304 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) )
22 abscl 10823 . . . . 5 |- ( B e. CC -> ( abs ` B ) e. RR )
23 absge0 10832 . . . . 5 |- ( B e. CC -> 0 <_ ( abs ` B ) )
2422, 23jca 304 . . . 4 |- ( B e. CC -> ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) )
25 sq11 10365 . . . 4 |- ( ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) /\ ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( ( abs ` B ) ^ 2 ) <-> ( abs ` A ) = ( abs ` B ) ) )
2621, 24, 25syl2an 287 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( ( abs ` B ) ^ 2 ) <-> ( abs ` A ) = ( abs ` B ) ) )
275, 14, 26syl2an 287 . 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( ( abs ` B ) ^ 2 ) <-> ( abs ` A ) = ( abs ` B ) ) )
2818, 27bitrd 187 1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( abs ` A ) = ( abs ` B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   RRcr 7619   0cc0 7620   <_ cle 7801   2c2 8771   NN0cn0 8977   ^cexp 10292   abscabs 10769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-rp 9442  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771
This theorem is referenced by:  coskpi  12929
  Copyright terms: Public domain W3C validator