Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sqpweven Unicode version

Theorem sqpweven 10778
 Description: The greatest power of two dividing the square of an integer is an even power of two. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
oddpwdc.j
oddpwdc.f
Assertion
Ref Expression
sqpweven
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem sqpweven
StepHypRef Expression
1 oddpwdc.j . . . . . . . 8
2 oddpwdc.f . . . . . . . 8
31, 2oddpwdc 10777 . . . . . . 7
4 f1ocnv 5191 . . . . . . 7
5 f1of 5178 . . . . . . 7
63, 4, 5mp2b 8 . . . . . 6
76ffvelrni 5354 . . . . 5
8 xp2nd 5845 . . . . 5
97, 8syl 14 . . . 4
109nn0zd 8618 . . 3
11 2nn 8330 . . . . 5
1211a1i 9 . . . 4
1312nnzd 8619 . . 3
14 dvdsmul2 10444 . . 3
1510, 13, 14syl2anc 403 . 2
16 xp1st 5844 . . . . . . . . . 10
177, 16syl 14 . . . . . . . . 9
18 breq2 3809 . . . . . . . . . . . 12
1918notbid 625 . . . . . . . . . . 11
2019, 1elrab2 2760 . . . . . . . . . 10
2120simplbi 268 . . . . . . . . 9
2217, 21syl 14 . . . . . . . 8
2322nnsqcld 9793 . . . . . . 7
2420simprbi 269 . . . . . . . . . 10
2517, 24syl 14 . . . . . . . . 9
26 2prm 10734 . . . . . . . . . 10
2722nnzd 8619 . . . . . . . . . 10
28 euclemma 10750 . . . . . . . . . . 11
29 oridm 707 . . . . . . . . . . 11
3028, 29syl6bb 194 . . . . . . . . . 10
3126, 27, 27, 30mp3an2i 1274 . . . . . . . . 9
3225, 31mtbird 631 . . . . . . . 8
3322nncnd 8190 . . . . . . . . . 10
3433sqvald 9769 . . . . . . . . 9
3534breq2d 3817 . . . . . . . 8
3632, 35mtbird 631 . . . . . . 7
37 breq2 3809 . . . . . . . . 9
3837notbid 625 . . . . . . . 8
3938, 1elrab2 2760 . . . . . . 7
4023, 36, 39sylanbrc 408 . . . . . 6
4112nnnn0d 8478 . . . . . . 7
429, 41nn0mulcld 8483 . . . . . 6
43 opelxp 4420 . . . . . 6
4440, 42, 43sylanbrc 408 . . . . 5
4512nncnd 8190 . . . . . . . . 9
4645, 41, 9expmuld 9775 . . . . . . . 8
4746oveq1d 5579 . . . . . . 7
4812, 42nnexpcld 9794 . . . . . . . . 9
4948, 23nnmulcld 8224 . . . . . . . 8
50 oveq2 5572 . . . . . . . . 9
51 oveq2 5572 . . . . . . . . . 10
5251oveq1d 5579 . . . . . . . . 9
5350, 52, 2ovmpt2g 5687 . . . . . . . 8
5440, 42, 49, 53syl3anc 1170 . . . . . . 7
55 f1ocnvfv2 5470 . . . . . . . . . . . . 13
563, 55mpan 415 . . . . . . . . . . . 12
57 1st2nd2 5853 . . . . . . . . . . . . . 14
587, 57syl 14 . . . . . . . . . . . . 13
5958fveq2d 5234 . . . . . . . . . . . 12
6056, 59eqtr3d 2117 . . . . . . . . . . 11
61 df-ov 5567 . . . . . . . . . . 11
6260, 61syl6eqr 2133 . . . . . . . . . 10
6312, 9nnexpcld 9794 . . . . . . . . . . . 12
6463, 22nnmulcld 8224 . . . . . . . . . . 11
65 oveq2 5572 . . . . . . . . . . . 12
66 oveq2 5572 . . . . . . . . . . . . 13
6766oveq1d 5579 . . . . . . . . . . . 12
6865, 67, 2ovmpt2g 5687 . . . . . . . . . . 11
6917, 9, 64, 68syl3anc 1170 . . . . . . . . . 10
7062, 69eqtrd 2115 . . . . . . . . 9
7170oveq1d 5579 . . . . . . . 8
7263nncnd 8190 . . . . . . . . 9
7372, 33sqmuld 9784 . . . . . . . 8
7471, 73eqtrd 2115 . . . . . . 7
7547, 54, 743eqtr4rd 2126 . . . . . 6
76 df-ov 5567 . . . . . 6
7775, 76syl6req 2132 . . . . 5
78 f1ocnvfv 5471 . . . . . 6
793, 78mpan 415 . . . . 5
8044, 77, 79sylc 61 . . . 4
8180fveq2d 5234 . . 3
82 op2ndg 5830 . . . 4
8340, 42, 82syl2anc 403 . . 3
8481, 83eqtrd 2115 . 2
8515, 84breqtrrd 3831 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 103   wo 662   w3a 920   wceq 1285   wcel 1434  crab 2357  cop 3419   class class class wbr 3805   cxp 4389  ccnv 4390  wf 4948  wf1o 4951  cfv 4952  (class class class)co 5564   cmpt2 5566  c1st 5817  c2nd 5818   cmul 7118  cn 8176  c2 8226  cn0 8425  cz 8502  cexp 9642   cdvds 10421  cprime 10714 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-1cn 7201  ax-1re 7202  ax-icn 7203  ax-addcl 7204  ax-addrcl 7205  ax-mulcl 7206  ax-mulrcl 7207  ax-addcom 7208  ax-mulcom 7209  ax-addass 7210  ax-mulass 7211  ax-distr 7212  ax-i2m1 7213  ax-0lt1 7214  ax-1rid 7215  ax-0id 7216  ax-rnegex 7217  ax-precex 7218  ax-cnre 7219  ax-pre-ltirr 7220  ax-pre-ltwlin 7221  ax-pre-lttrn 7222  ax-pre-apti 7223  ax-pre-ltadd 7224  ax-pre-mulgt0 7225  ax-pre-mulext 7226  ax-arch 7227  ax-caucvg 7228 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-frec 6061  df-1o 6086  df-2o 6087  df-er 6194  df-en 6310  df-sup 6492  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291  df-sub 7418  df-neg 7419  df-reap 7812  df-ap 7819  df-div 7898  df-inn 8177  df-2 8235  df-3 8236  df-4 8237  df-n0 8426  df-z 8503  df-uz 8771  df-q 8856  df-rp 8886  df-fz 9176  df-fzo 9300  df-fl 9422  df-mod 9475  df-iseq 9592  df-iexp 9643  df-cj 9948  df-re 9949  df-im 9950  df-rsqrt 10103  df-abs 10104  df-dvds 10422  df-gcd 10564  df-prm 10715 This theorem is referenced by:  sqne2sq  10780
 Copyright terms: Public domain W3C validator