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Theorem sscoll2 11050
Description: Version of ax-sscoll 11049 with two DV conditions removed and without initial universal quantifiers. (Contributed by BJ, 5-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
sscoll2  |-  E. c A. z ( A. x  e.  a  E. y  e.  b  ph  ->  E. d  e.  c  A. y
( y  e.  d  <->  E. x  e.  a  ph ) )
Distinct variable groups:    a, b, c, d, x, y, z    ph, c, d
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, a, b)

Proof of Theorem sscoll2
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1462 . . 3  |-  F/ c ( u  =  a  /\  v  =  b )
2 nfv 1462 . . . 4  |-  F/ z ( u  =  a  /\  v  =  b )
3 simpl 107 . . . . . 6  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  b )  ->  u  =  a )
4 rexeq 2555 . . . . . . 7  |-  ( v  =  b  ->  ( E. y  e.  v  ph 
<->  E. y  e.  b 
ph ) )
54adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  b )  ->  ( E. y  e.  v  ph  <->  E. y  e.  b  ph ) )
63, 5raleqbidv 2566 . . . . 5  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  b )  ->  ( A. x  e.  u  E. y  e.  v  ph  <->  A. x  e.  a  E. y  e.  b  ph ) )
7 nfv 1462 . . . . . 6  |-  F/ d ( u  =  a  /\  v  =  b )
8 nfv 1462 . . . . . . 7  |-  F/ y ( u  =  a  /\  v  =  b )
9 rexeq 2555 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  a  ->  ( E. x  e.  u  ph  <->  E. x  e.  a  ph ) )
109adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  b )  ->  ( E. x  e.  u  ph  <->  E. x  e.  a  ph ) )
1110bibi2d 230 . . . . . . 7  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  b )  ->  ( ( y  e.  d  <->  E. x  e.  u  ph )  <->  ( y  e.  d  <->  E. x  e.  a 
ph ) ) )
128, 11albid 1547 . . . . . 6  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  b )  ->  ( A. y ( y  e.  d  <->  E. x  e.  u  ph )  <->  A. y
( y  e.  d  <->  E. x  e.  a  ph ) ) )
137, 12rexbid 2372 . . . . 5  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  b )  ->  ( E. d  e.  c  A. y ( y  e.  d  <->  E. x  e.  u  ph )  <->  E. d  e.  c  A. y
( y  e.  d  <->  E. x  e.  a  ph ) ) )
146, 13imbi12d 232 . . . 4  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  b )  ->  ( ( A. x  e.  u  E. y  e.  v  ph  ->  E. d  e.  c  A. y
( y  e.  d  <->  E. x  e.  u  ph ) )  <->  ( A. x  e.  a  E. y  e.  b  ph  ->  E. d  e.  c 
A. y ( y  e.  d  <->  E. x  e.  a  ph ) ) ) )
152, 14albid 1547 . . 3  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  b )  ->  ( A. z ( A. x  e.  u  E. y  e.  v  ph  ->  E. d  e.  c 
A. y ( y  e.  d  <->  E. x  e.  u  ph ) )  <->  A. z ( A. x  e.  a  E. y  e.  b  ph  ->  E. d  e.  c  A. y
( y  e.  d  <->  E. x  e.  a  ph ) ) ) )
161, 15exbid 1548 . 2  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  b )  ->  ( E. c A. z ( A. x  e.  u  E. y  e.  v  ph  ->  E. d  e.  c  A. y
( y  e.  d  <->  E. x  e.  u  ph ) )  <->  E. c A. z ( A. x  e.  a  E. y  e.  b  ph  ->  E. d  e.  c  A. y
( y  e.  d  <->  E. x  e.  a  ph ) ) ) )
17 ax-sscoll 11049 . . . 4  |-  A. u A. v E. c A. z ( A. x  e.  u  E. y  e.  v  ph  ->  E. d  e.  c  A. y
( y  e.  d  <->  E. x  e.  u  ph ) )
1817spi 1470 . . 3  |-  A. v E. c A. z ( A. x  e.  u  E. y  e.  v  ph  ->  E. d  e.  c 
A. y ( y  e.  d  <->  E. x  e.  u  ph ) )
1918spi 1470 . 2  |-  E. c A. z ( A. x  e.  u  E. y  e.  v  ph  ->  E. d  e.  c  A. y
( y  e.  d  <->  E. x  e.  u  ph ) )
2016, 19ch2varv 10839 1  |-  E. c A. z ( A. x  e.  a  E. y  e.  b  ph  ->  E. d  e.  c  A. y
( y  e.  d  <->  E. x  e.  a  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1283   E.wex 1422   A.wral 2353   E.wrex 2354
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sscoll 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359
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