ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssdomg Unicode version

Theorem ssdomg 6289
Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssdomg  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  C_  B  ->  A  ~<_  B ) )

Proof of Theorem ssdomg
StepHypRef Expression
1 ssexg 3924 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  e.  V )  ->  A  e.  _V )
2 simpr 107 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  e.  V )  ->  B  e.  V )
3 f1oi 5192 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A
4 dff1o3 5160 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A  <->  ( (  _I  |`  A ) : A -onto-> A  /\  Fun  `' (  _I  |`  A )
) )
53, 4mpbi 137 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  A ) : A -onto-> A  /\  Fun  `' (  _I  |`  A ) )
65simpli 108 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  A ) : A -onto-> A
7 fof 5134 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  A ) : A -onto-> A  ->  (  _I  |`  A ) : A --> A )
86, 7ax-mp 7 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  A ) : A --> A
9 fss 5082 . . . . . . 7  |-  ( ( (  _I  |`  A ) : A --> A  /\  A  C_  B )  -> 
(  _I  |`  A ) : A --> B )
108, 9mpan 408 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  ->  (  _I  |`  A ) : A --> B )
11 funi 4960 . . . . . . . 8  |-  Fun  _I
12 cnvi 4756 . . . . . . . . 9  |-  `'  _I  =  _I
1312funeqi 4950 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  `'  _I  <->  Fun  _I  )
1411, 13mpbir 138 . . . . . . 7  |-  Fun  `'  _I
15 funres11 4999 . . . . . . 7  |-  ( Fun  `'  _I  ->  Fun  `' (  _I  |`  A )
)
1614, 15ax-mp 7 . . . . . 6  |-  Fun  `' (  _I  |`  A )
1710, 16jctir 300 . . . . 5  |-  ( A 
C_  B  ->  (
(  _I  |`  A ) : A --> B  /\  Fun  `' (  _I  |`  A ) ) )
18 df-f1 4935 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  A ) : A -1-1-> B  <->  ( (  _I  |`  A ) : A --> B  /\  Fun  `' (  _I  |`  A )
) )
1917, 18sylibr 141 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  (  _I  |`  A ) : A -1-1-> B )
2019adantr 265 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  e.  V )  ->  (  _I  |`  A ) : A -1-1-> B )
21 f1dom2g 6267 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  V  /\  (  _I  |`  A ) : A -1-1-> B )  ->  A  ~<_  B )
221, 2, 20, 21syl3anc 1146 . 2  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  e.  V )  ->  A  ~<_  B )
2322expcom 113 1  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  C_  B  ->  A  ~<_  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    e. wcel 1409   _Vcvv 2574    C_ wss 2945   class class class wbr 3792    _I cid 4053   `'ccnv 4372    |` cres 4375   Fun wfun 4924   -->wf 4926   -1-1->wf1 4927   -onto->wfo 4928   -1-1-onto->wf1o 4929    ~<_ cdom 6251
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-dom 6254
This theorem is referenced by:  xpdom3m  6339  phplem4dom  6355  nndomo  6357  phpm  6358
  Copyright terms: Public domain W3C validator