Theorem ssexg 4067

Description: The subset of a set is also a set. Exercise 3 of [TakeutiZaring] p. 22 (generalized). (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ssexg	|- ( ( A C_ B /\ B e. C ) -> A e. _V )

Proof of Theorem ssexg

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq2 3121	. . . 4 |- ( x = B -> ( A C_ x <-> A C_ B ) )
2	1	imbi1d 230	. . 3 |- ( x = B -> ( ( A C_ x -> A e. _V ) <-> ( A C_ B -> A e. _V ) ) )
3		vex 2689	. . . 4 |- x e. _V
4	3	ssex 4065	. . 3 |- ( A C_ x -> A e. _V )
5	2, 4	vtoclg 2746	. 2 |- ( B e. C -> ( A C_ B -> A e. _V ) )
6	5	impcom 124	1 |- ( ( A C_ B /\ B e. C ) -> A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   C_ wss 3071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-in 3077  df-ss 3084

This theorem is referenced by:  ssexd  4068  difexg  4069  rabexg  4071  elssabg  4073  elpw2g  4081  abssexg  4106  snexg  4108  sess1  4259  sess2  4260  trsuc  4344  unexb  4363  abnexg  4367  uniexb  4394  xpexg  4653  riinint  4800  dmexg  4803  rnexg  4804  resexg  4859  resiexg  4864  imaexg  4893  exse2  4913  cnvexg  5076  coexg  5083  fabexg  5310  f1oabexg  5379  relrnfvex  5439  fvexg  5440  sefvex  5442  mptfvex  5506  mptexg  5645  ofres  5996  resfunexgALT  6008  cofunexg  6009  fnexALT  6011  f1dmex  6014  oprabexd  6025  mpoexxg  6108  tposexg  6155  frecabex  6295  erex  6453  mapex  6548  pmvalg  6553  elpmg  6558  elmapssres  6567  pmss12g  6569  ixpexgg  6616  ssdomg  6672  fiprc  6709  fival  6858  shftfvalg  10590  shftfval  10593  toponsspwpwg  12189  tgval  12218  tgvalex  12219  eltg  12221  eltg2  12222  tgss  12232  basgen2  12250  bastop1  12252  topnex  12255  resttopon  12340  restabs  12344  lmfval  12361  cnrest  12404  txss12  12435  metrest  12675  dvbss  12823  dvcnp2cntop  12832  dvaddxxbr  12834  dvmulxxbr  12835