Theorem ssfidc 6823

Description: A subset of a finite set is finite if membership in the subset is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 27-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
ssfidc	|- ( ( A e. Fin /\ B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> B e. Fin )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem ssfidc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss1 3280	. . . 4 |- ( B C_ A <-> ( A i^i B ) = B )
2	1	biimpi 119	. . 3 |- ( B C_ A -> ( A i^i B ) = B )
3	2	3ad2ant2 1003	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> ( A i^i B ) = B )
4		dfin5 3078	. . 3 |- ( A i^i B ) = { x e. A | x e. B }
5		simp1 981	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> A e. Fin )
6		simp3 983	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> A. x e. A DECID x e. B )
7	5, 6	ssfirab 6822	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> { x e. A | x e. B } e. Fin )
8	4, 7	eqeltrid 2226	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> ( A i^i B ) e. Fin )
9	3, 8	eqeltrrd 2217	1 |- ( ( A e. Fin /\ B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> B e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4  DECID wdc 819   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   {crab 2420   i^i cin 3070   C_ wss 3071   Fincfn 6634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637

This theorem is referenced by:  fisumss  11161