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Theorem ssfiexmid 6411
Description: If any subset of a finite set is finite, excluded middle follows. One direction of Theorem 2.1 of [Bauer], p. 485. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ssfiexmid.1  |-  A. x A. y ( ( x  e.  Fin  /\  y  C_  x )  ->  y  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
ssfiexmid  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Distinct variable group:    ph, x, y

Proof of Theorem ssfiexmid
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 3913 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
2 snfig 6359 . . . 4  |-  ( (/)  e.  _V  ->  { (/) }  e.  Fin )
31, 2ax-mp 7 . . 3  |-  { (/) }  e.  Fin
4 ssrab2 3080 . . 3  |-  { z  e.  { (/) }  |  ph }  C_  { (/) }
5 ssfiexmid.1 . . . . 5  |-  A. x A. y ( ( x  e.  Fin  /\  y  C_  x )  ->  y  e.  Fin )
6 p0ex 3967 . . . . . 6  |-  { (/) }  e.  _V
7 eleq1 2142 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( x  e.  Fin  <->  { (/) }  e.  Fin ) )
8 sseq2 3022 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( y  C_  x  <->  y  C_  {
(/) } ) )
97, 8anbi12d 457 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( ( x  e.  Fin  /\  y  C_  x )  <->  ( { (/) }  e.  Fin  /\  y  C_  { (/) } ) ) )
109imbi1d 229 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( ( ( x  e. 
Fin  /\  y  C_  x )  ->  y  e.  Fin )  <->  ( ( { (/) }  e.  Fin  /\  y  C_  { (/) } )  ->  y  e.  Fin ) ) )
1110albidv 1746 . . . . . 6  |-  ( x  =  { (/) }  ->  ( A. y ( ( x  e.  Fin  /\  y  C_  x )  -> 
y  e.  Fin )  <->  A. y ( ( {
(/) }  e.  Fin  /\  y  C_  { (/) } )  ->  y  e.  Fin ) ) )
126, 11spcv 2692 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  Fin  /\  y  C_  x )  -> 
y  e.  Fin )  ->  A. y ( ( { (/) }  e.  Fin  /\  y  C_  { (/) } )  ->  y  e.  Fin ) )
135, 12ax-mp 7 . . . 4  |-  A. y
( ( { (/) }  e.  Fin  /\  y  C_ 
{ (/) } )  -> 
y  e.  Fin )
146rabex 3930 . . . . 5  |-  { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  _V
15 sseq1 3021 . . . . . . 7  |-  ( y  =  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( y  C_  {
(/) }  <->  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  C_ 
{ (/) } ) )
1615anbi2d 452 . . . . . 6  |-  ( y  =  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( ( {
(/) }  e.  Fin  /\  y  C_  { (/) } )  <-> 
( { (/) }  e.  Fin  /\  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  C_  { (/) } ) ) )
17 eleq1 2142 . . . . . 6  |-  ( y  =  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( y  e. 
Fin 
<->  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  Fin ) )
1816, 17imbi12d 232 . . . . 5  |-  ( y  =  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( ( ( { (/) }  e.  Fin  /\  y  C_  { (/) } )  ->  y  e.  Fin ) 
<->  ( ( { (/) }  e.  Fin  /\  {
z  e.  { (/) }  |  ph }  C_  {
(/) } )  ->  { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  Fin )
) )
1914, 18spcv 2692 . . . 4  |-  ( A. y ( ( {
(/) }  e.  Fin  /\  y  C_  { (/) } )  ->  y  e.  Fin )  ->  ( ( {
(/) }  e.  Fin  /\ 
{ z  e.  { (/)
}  |  ph }  C_ 
{ (/) } )  ->  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  Fin ) )
2013, 19ax-mp 7 . . 3  |-  ( ( { (/) }  e.  Fin  /\ 
{ z  e.  { (/)
}  |  ph }  C_ 
{ (/) } )  ->  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  Fin )
213, 4, 20mp2an 417 . 2  |-  { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  Fin
2221ssfilem 6410 1  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 662   A.wal 1283    = wceq 1285    e. wcel 1434   {crab 2353   _Vcvv 2602    C_ wss 2974   (/)c0 3258   {csn 3406   Fincfn 6287
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-1o 6065  df-er 6172  df-en 6288  df-fin 6290
This theorem is referenced by:  infiexmid  6412
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