Theorem ssfzo12bi 10002

Description: Subset relationship for half-open integer ranges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ssfzo12bi	|- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) <-> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )

Proof of Theorem ssfzo12bi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 964	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) <-> ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ K < L ) )
2	1	biimpri 132	. . . 4 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) )
3	2	3adant2 1000	. . 3 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) )
4		ssfzo12 10001	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ /\ K < L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )
6		elfzo2 9927	. . . . . 6 |- ( x e. ( K..^ L ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` K ) /\ L e. ZZ /\ x < L ) )
7		eluz2 9332	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ZZ>= ` K ) <-> ( K e. ZZ /\ x e. ZZ /\ K <_ x ) )
8		simprrl 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> M e. ZZ )
9	8	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) /\ ( M <_ K /\ K <_ x ) ) -> M e. ZZ )
10		simpll 518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) /\ ( M <_ K /\ K <_ x ) ) -> x e. ZZ )
11		zre 9058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
12	11	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. RR )
13	12	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> M e. RR )
14	13	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> M e. RR )
15		zre 9058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
16	15	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> K e. RR )
17	16	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> K e. RR )
18	17	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> K e. RR )
19		zre 9058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( x e. ZZ -> x e. RR )
20	19	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> x e. RR )
21		letr 7847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ x ) -> M <_ x ) )
22	14, 18, 20, 21	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ x ) -> M <_ x ) )
23	22	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) /\ ( M <_ K /\ K <_ x ) ) -> M <_ x )
24	9, 10, 23	3jca 1161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( x e. ZZ /\ ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) ) /\ ( M <_ K /\ K <_ x ) ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) )
25	24	exp31 361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x e. ZZ -> ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ x ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) ) )
26	25	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. ZZ -> ( ( M <_ K /\ K <_ x ) -> ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) ) )
27	26	expdimp 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. ZZ /\ M <_ K ) -> ( K <_ x -> ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) ) )
28	27	impancom 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( M <_ K -> ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) ) )
29	28	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( M <_ K -> ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) ) )
30	29	3adant3 1001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( M <_ K -> ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) ) )
31	30	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M <_ K -> ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) ) )
32	31	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M <_ K /\ L <_ N ) -> ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) ) )
33	32	impcom 124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) )
34	33	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) )
35	34	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) /\ x < L ) -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) ) )
36	35	imp 123	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) /\ x < L ) /\ ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) -> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) )
37		eluz2 9332	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ x e. ZZ /\ M <_ x ) )
38	36, 37	sylibr 133	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) /\ x < L ) /\ ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
39		simpl2r 1035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> N e. ZZ )
40	39	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) /\ x < L ) /\ ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) -> N e. ZZ )
41	19	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ x e. ZZ ) -> x e. RR )
42		zre 9058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( L e. ZZ -> L e. RR )
43	42	ad3antlr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ x e. ZZ ) -> L e. RR )
44		zre 9058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
45	44	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
46	45	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> N e. RR )
47	46	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ x e. ZZ ) -> N e. RR )
48		ltletr 7853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x e. RR /\ L e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( x < L /\ L <_ N ) -> x < N ) )
49	41, 43, 47, 48	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ x e. ZZ ) -> ( ( x < L /\ L <_ N ) -> x < N ) )
50	49	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( x e. ZZ -> ( ( x < L /\ L <_ N ) -> x < N ) ) )
51	50	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( x < L /\ L <_ N ) -> ( x e. ZZ -> x < N ) ) )
52	51	3adant3 1001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( ( x < L /\ L <_ N ) -> ( x e. ZZ -> x < N ) ) )
53	52	expcomd 1417	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( L <_ N -> ( x < L -> ( x e. ZZ -> x < N ) ) ) )
54	53	adantld 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( ( M <_ K /\ L <_ N ) -> ( x < L -> ( x e. ZZ -> x < N ) ) ) )
55	54	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> ( x < L -> ( x e. ZZ -> x < N ) ) )
56	55	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ZZ -> ( x < L -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x < N ) ) )
57	56	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( x < L -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x < N ) ) )
58	57	imp 123	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) /\ x < L ) -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x < N ) )
59	58	imp 123	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) /\ x < L ) /\ ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) -> x < N )
60		elfzo2 9927	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( M..^ N ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ x < N ) )
61	38, 40, 59, 60	syl3anbrc 1165	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) /\ x < L ) /\ ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) ) -> x e. ( M..^ N ) )
62	61	exp31 361	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( x < L -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x e. ( M..^ N ) ) ) )
63	62	3adant1 999	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ZZ /\ x e. ZZ /\ K <_ x ) -> ( x < L -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x e. ( M..^ N ) ) ) )
64	7, 63	sylbi 120	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` K ) -> ( x < L -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x e. ( M..^ N ) ) ) )
65	64	imp 123	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` K ) /\ x < L ) -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x e. ( M..^ N ) ) )
66	65	3adant2 1000	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` K ) /\ L e. ZZ /\ x < L ) -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x e. ( M..^ N ) ) )
67	6, 66	sylbi 120	. . . . 5 |- ( x e. ( K..^ L ) -> ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> x e. ( M..^ N ) ) )
68	67	com12 30	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> ( x e. ( K..^ L ) -> x e. ( M..^ N ) ) )
69	68	ssrdv 3103	. . 3 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) /\ ( M <_ K /\ L <_ N ) ) -> ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) )
70	69	ex 114	. 2 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( ( M <_ K /\ L <_ N ) -> ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) ) )
71	5, 70	impbid 128	1 |- ( ( ( K e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K < L ) -> ( ( K..^ L ) C_ ( M..^ N ) <-> ( M <_ K /\ L <_ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   e. wcel 1480   C_ wss 3071   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   RRcr 7619   < clt 7800   <_ cle 7801   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326  ..^cfzo 9919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791  df-fzo 9920

This theorem is referenced by: (None)