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Theorem ssimaex 5262
Description: The existence of a subimage. (Contributed by NM, 8-Apr-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
ssimaex.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ssimaex  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " A
) )  ->  E. x
( x  C_  A  /\  B  =  ( F " x ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F

Proof of Theorem ssimaex
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmres 4660 . . . . 5  |-  dom  ( F  |`  A )  =  ( A  i^i  dom  F )
21imaeq2i 4694 . . . 4  |-  ( F
" dom  ( F  |`  A ) )  =  ( F " ( A  i^i  dom  F )
)
3 imadmres 4841 . . . 4  |-  ( F
" dom  ( F  |`  A ) )  =  ( F " A
)
42, 3eqtr3i 2078 . . 3  |-  ( F
" ( A  i^i  dom 
F ) )  =  ( F " A
)
54sseq2i 2998 . 2  |-  ( B 
C_  ( F "
( A  i^i  dom  F ) )  <->  B  C_  ( F " A ) )
6 ssrab2 3053 . . . 4  |-  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  C_  ( A  i^i  dom  F
)
7 ssel2 2968 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  C_  ( F " ( A  i^i  dom  F ) )  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )
87adantll 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F "
( A  i^i  dom  F ) ) )  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  ( F
" ( A  i^i  dom 
F ) ) )
9 fvelima 5253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )  ->  E. w  e.  ( A  i^i  dom  F ) ( F `  w )  =  z )
109ex 112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
F  ->  ( z  e.  ( F " ( A  i^i  dom  F )
)  ->  E. w  e.  ( A  i^i  dom  F ) ( F `  w )  =  z ) )
1110adantr 265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  B )  ->  (
z  e.  ( F
" ( A  i^i  dom 
F ) )  ->  E. w  e.  ( A  i^i  dom  F )
( F `  w
)  =  z ) )
12 eleq1a 2125 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  B  ->  (
( F `  w
)  =  z  -> 
( F `  w
)  e.  B ) )
1312anim2d 324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  B  ->  (
( w  e.  ( A  i^i  dom  F
)  /\  ( F `  w )  =  z )  ->  ( w  e.  ( A  i^i  dom  F )  /\  ( F `
 w )  e.  B ) ) )
14 fveq2 5206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  w  ->  ( F `  y )  =  ( F `  w ) )
1514eleq1d 2122 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  w  ->  (
( F `  y
)  e.  B  <->  ( F `  w )  e.  B
) )
1615elrab 2721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  <->  ( w  e.  ( A  i^i  dom  F )  /\  ( F `
 w )  e.  B ) )
1713, 16syl6ibr 155 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  B  ->  (
( w  e.  ( A  i^i  dom  F
)  /\  ( F `  w )  =  z )  ->  w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `  y )  e.  B } ) )
18 simpr 107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  ( A  i^i  dom  F )  /\  ( F `  w
)  =  z )  ->  ( F `  w )  =  z )
1918a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  B  ->  (
( w  e.  ( A  i^i  dom  F
)  /\  ( F `  w )  =  z )  ->  ( F `  w )  =  z ) )
2017, 19jcad 295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  B  ->  (
( w  e.  ( A  i^i  dom  F
)  /\  ( F `  w )  =  z )  ->  ( w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B }  /\  ( F `  w )  =  z ) ) )
2120reximdv2 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  B  ->  ( E. w  e.  ( A  i^i  dom  F )
( F `  w
)  =  z  ->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  ( F `  w )  =  z ) )
2221adantl 266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  B )  ->  ( E. w  e.  ( A  i^i  dom  F )
( F `  w
)  =  z  ->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  ( F `  w )  =  z ) )
23 funfn 4959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun 
F  <->  F  Fn  dom  F )
24 inss2 3186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  i^i  dom  F )  C_ 
dom  F
256, 24sstri 2982 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  C_  dom  F
26 fvelimab 5257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  dom  F  /\  { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B }  C_  dom  F )  ->  ( z  e.  ( F " {
y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `  y )  e.  B } )  <->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B }  ( F `
 w )  =  z ) )
2725, 26mpan2 409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  dom  F  -> 
( z  e.  ( F " { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B } )  <->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  ( F `  w )  =  z ) )
2823, 27sylbi 118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun 
F  ->  ( z  e.  ( F " {
y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `  y )  e.  B } )  <->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B }  ( F `
 w )  =  z ) )
2928adantr 265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  B )  ->  (
z  e.  ( F
" { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } )  <->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B }  ( F `
 w )  =  z ) )
3022, 29sylibrd 162 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  B )  ->  ( E. w  e.  ( A  i^i  dom  F )
( F `  w
)  =  z  -> 
z  e.  ( F
" { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } ) ) )
3111, 30syld 44 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  B )  ->  (
z  e.  ( F
" ( A  i^i  dom 
F ) )  -> 
z  e.  ( F
" { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } ) ) )
3231adantlr 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F "
( A  i^i  dom  F ) ) )  /\  z  e.  B )  ->  ( z  e.  ( F " ( A  i^i  dom  F )
)  ->  z  e.  ( F " { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B } ) ) )
338, 32mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F "
( A  i^i  dom  F ) ) )  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  ( F
" { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } ) )
3433ex 112 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )  ->  (
z  e.  B  -> 
z  e.  ( F
" { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } ) ) )
35 fvelima 5253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  ( F " {
y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `  y )  e.  B } ) )  ->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  ( F `  w )  =  z )
3635ex 112 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
F  ->  ( z  e.  ( F " {
y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `  y )  e.  B } )  ->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B }  ( F `
 w )  =  z ) )
37 eleq1 2116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  w )  =  z  ->  (
( F `  w
)  e.  B  <->  z  e.  B ) )
3837biimpcd 152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  w )  e.  B  ->  (
( F `  w
)  =  z  -> 
z  e.  B ) )
3938adantl 266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  ( A  i^i  dom  F )  /\  ( F `  w
)  e.  B )  ->  ( ( F `
 w )  =  z  ->  z  e.  B ) )
4016, 39sylbi 118 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  ->  (
( F `  w
)  =  z  -> 
z  e.  B ) )
4140rexlimiv 2444 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  ( F `  w )  =  z  ->  z  e.  B )
4236, 41syl6 33 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
F  ->  ( z  e.  ( F " {
y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `  y )  e.  B } )  ->  z  e.  B ) )
4342adantr 265 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )  ->  (
z  e.  ( F
" { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } )  -> 
z  e.  B ) )
4434, 43impbid 124 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )  ->  (
z  e.  B  <->  z  e.  ( F " { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B } ) ) )
4544eqrdv 2054 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )  ->  B  =  ( F " { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B } ) )
46 ssimaex.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
_V
4746inex1 3919 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  dom  F )  e.  _V
4847rabex 3929 . . . . 5  |-  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  e.  _V
49 sseq1 2994 . . . . . 6  |-  ( x  =  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  ->  (
x  C_  ( A  i^i  dom  F )  <->  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  C_  ( A  i^i  dom  F )
) )
50 imaeq2 4692 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  ->  ( F " x )  =  ( F " {
y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `  y )  e.  B } ) )
5150eqeq2d 2067 . . . . . 6  |-  ( x  =  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  ->  ( B  =  ( F " x )  <->  B  =  ( F " { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B } ) ) )
5249, 51anbi12d 450 . . . . 5  |-  ( x  =  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  ->  (
( x  C_  ( A  i^i  dom  F )  /\  B  =  ( F " x ) )  <-> 
( { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  C_  ( A  i^i  dom  F )  /\  B  =  ( F " { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } ) ) ) )
5348, 52spcev 2664 . . . 4  |-  ( ( { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B }  C_  ( A  i^i  dom  F )  /\  B  =  ( F " { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } ) )  ->  E. x ( x 
C_  ( A  i^i  dom 
F )  /\  B  =  ( F "
x ) ) )
546, 45, 53sylancr 399 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )  ->  E. x
( x  C_  ( A  i^i  dom  F )  /\  B  =  ( F " x ) ) )
55 inss1 3185 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  dom  F )  C_  A
56 sstr 2981 . . . . . 6  |-  ( ( x  C_  ( A  i^i  dom  F )  /\  ( A  i^i  dom  F
)  C_  A )  ->  x  C_  A )
5755, 56mpan2 409 . . . . 5  |-  ( x 
C_  ( A  i^i  dom 
F )  ->  x  C_  A )
5857anim1i 327 . . . 4  |-  ( ( x  C_  ( A  i^i  dom  F )  /\  B  =  ( F " x ) )  -> 
( x  C_  A  /\  B  =  ( F " x ) ) )
5958eximi 1507 . . 3  |-  ( E. x ( x  C_  ( A  i^i  dom  F
)  /\  B  =  ( F " x ) )  ->  E. x
( x  C_  A  /\  B  =  ( F " x ) ) )
6054, 59syl 14 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )  ->  E. x
( x  C_  A  /\  B  =  ( F " x ) ) )
615, 60sylan2br 276 1  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " A
) )  ->  E. x
( x  C_  A  /\  B  =  ( F " x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    = wceq 1259   E.wex 1397    e. wcel 1409   E.wrex 2324   {crab 2327   _Vcvv 2574    i^i cin 2944    C_ wss 2945   dom cdm 4373    |` cres 4375   "cima 4376   Fun wfun 4924    Fn wfn 4925   ` cfv 4930
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-fv 4938
This theorem is referenced by:  ssimaexg  5263
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