Theorem ssopab2b 4198

Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and implication. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ssopab2b	|- ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } <-> A. x A. y ( ph -> ps ) )

Proof of Theorem ssopab2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfopab1 3997	. . . 4 |- F/_ x { <. x , y >. | ph }
2		nfopab1 3997	. . . 4 |- F/_ x { <. x , y >. | ps }
3	1, 2	nfss 3090	. . 3 |- F/ x { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps }
4		nfopab2 3998	. . . . 5 |- F/_ y { <. x , y >. | ph }
5		nfopab2 3998	. . . . 5 |- F/_ y { <. x , y >. | ps }
6	4, 5	nfss 3090	. . . 4 |- F/ y { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps }
7		ssel 3091	. . . . 5 |- ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } -> ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } -> <. x , y >. e. { <. x , y >. | ps } ) )
8		opabid 4179	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ph )
9		opabid 4179	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ps } <-> ps )
10	7, 8, 9	3imtr3g 203	. . . 4 |- ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } -> ( ph -> ps ) )
11	6, 10	alrimi 1502	. . 3 |- ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } -> A. y ( ph -> ps ) )
12	3, 11	alrimi 1502	. 2 |- ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } -> A. x A. y ( ph -> ps ) )
13		ssopab2 4197	. 2 |- ( A. x A. y ( ph -> ps ) -> { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } )
14	12, 13	impbii 125	1 |- ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } <-> A. x A. y ( ph -> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   A.wal 1329   e. wcel 1480   C_ wss 3071   <.cop 3530   {copab 3988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-opab 3990

This theorem is referenced by:  eqopab2b  4201  dffun2  5133