ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssopab2b Unicode version

Theorem ssopab2b 4041
Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and implication. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
ssopab2b  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  C_  { <. x ,  y >.  |  ps } 
<-> 
A. x A. y
( ph  ->  ps )
)

Proof of Theorem ssopab2b
StepHypRef Expression
1 nfopab1 3854 . . . 4  |-  F/_ x { <. x ,  y
>.  |  ph }
2 nfopab1 3854 . . . 4  |-  F/_ x { <. x ,  y
>.  |  ps }
31, 2nfss 2966 . . 3  |-  F/ x { <. x ,  y
>.  |  ph }  C_  {
<. x ,  y >.  |  ps }
4 nfopab2 3855 . . . . 5  |-  F/_ y { <. x ,  y
>.  |  ph }
5 nfopab2 3855 . . . . 5  |-  F/_ y { <. x ,  y
>.  |  ps }
64, 5nfss 2966 . . . 4  |-  F/ y { <. x ,  y
>.  |  ph }  C_  {
<. x ,  y >.  |  ps }
7 ssel 2967 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  C_  { <. x ,  y >.  |  ps }  ->  ( <. x ,  y >.  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }  ->  <. x ,  y >.  e.  { <. x ,  y >.  |  ps } ) )
8 opabid 4022 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  ph }  <->  ph )
9 opabid 4022 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  ps }  <->  ps )
107, 8, 93imtr3g 197 . . . 4  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  C_  { <. x ,  y >.  |  ps }  ->  ( ph  ->  ps ) )
116, 10alrimi 1431 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  C_  { <. x ,  y >.  |  ps }  ->  A. y ( ph  ->  ps ) )
123, 11alrimi 1431 . 2  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  C_  { <. x ,  y >.  |  ps }  ->  A. x A. y
( ph  ->  ps )
)
13 ssopab2 4040 . 2  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  ps )  ->  { <. x ,  y >.  |  ph }  C_  { <. x ,  y >.  |  ps } )
1412, 13impbii 121 1  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  C_  { <. x ,  y >.  |  ps } 
<-> 
A. x A. y
( ph  ->  ps )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 102   A.wal 1257    e. wcel 1409    C_ wss 2945   <.cop 3406   {copab 3845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-v 2576  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-opab 3847
This theorem is referenced by:  eqopab2b  4044  dffun2  4940
  Copyright terms: Public domain W3C validator