Theorem ssorduni 4403

Description: The union of a class of ordinal numbers is ordinal. Proposition 7.19 of [TakeutiZaring] p. 40. (Contributed by NM, 30-May-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ssorduni	|- ( A C_ On -> Ord U. A )

Proof of Theorem ssorduni

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni2 3740	. . . . 5 |- ( x e. U. A <-> E. y e. A x e. y )
2		ssel 3091	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ On -> ( y e. A -> y e. On ) )
3		onelss 4309	. . . . . . . . 9 |- ( y e. On -> ( x e. y -> x C_ y ) )
4	2, 3	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( A C_ On -> ( y e. A -> ( x e. y -> x C_ y ) ) )
5		anc2r 326	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. A -> ( x e. y -> x C_ y ) ) -> ( y e. A -> ( x e. y -> ( x C_ y /\ y e. A ) ) ) )
6	4, 5	syl 14	. . . . . . 7 |- ( A C_ On -> ( y e. A -> ( x e. y -> ( x C_ y /\ y e. A ) ) ) )
7		ssuni 3758	. . . . . . 7 |- ( ( x C_ y /\ y e. A ) -> x C_ U. A )
8	6, 7	syl8 71	. . . . . 6 |- ( A C_ On -> ( y e. A -> ( x e. y -> x C_ U. A ) ) )
9	8	rexlimdv 2548	. . . . 5 |- ( A C_ On -> ( E. y e. A x e. y -> x C_ U. A ) )
10	1, 9	syl5bi 151	. . . 4 |- ( A C_ On -> ( x e. U. A -> x C_ U. A ) )
11	10	ralrimiv 2504	. . 3 |- ( A C_ On -> A. x e. U. A x C_ U. A )
12		dftr3 4030	. . 3 |- ( Tr U. A <-> A. x e. U. A x C_ U. A )
13	11, 12	sylibr 133	. 2 |- ( A C_ On -> Tr U. A )
14		onelon 4306	. . . . . . 7 |- ( ( y e. On /\ x e. y ) -> x e. On )
15	14	ex 114	. . . . . 6 |- ( y e. On -> ( x e. y -> x e. On ) )
16	2, 15	syl6 33	. . . . 5 |- ( A C_ On -> ( y e. A -> ( x e. y -> x e. On ) ) )
17	16	rexlimdv 2548	. . . 4 |- ( A C_ On -> ( E. y e. A x e. y -> x e. On ) )
18	1, 17	syl5bi 151	. . 3 |- ( A C_ On -> ( x e. U. A -> x e. On ) )
19	18	ssrdv 3103	. 2 |- ( A C_ On -> U. A C_ On )
20		ordon 4402	. . 3 |- Ord On
21		trssord 4302	. . . 4 |- ( ( Tr U. A /\ U. A C_ On /\ Ord On ) -> Ord U. A )
22	21	3exp 1180	. . 3 |- ( Tr U. A -> ( U. A C_ On -> ( Ord On -> Ord U. A ) ) )
23	20, 22	mpii 44	. 2 |- ( Tr U. A -> ( U. A C_ On -> Ord U. A ) )
24	13, 19, 23	sylc 62	1 |- ( A C_ On -> Ord U. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   C_ wss 3071   U.cuni 3736   Tr wtr 4026   Ord word 4284   Oncon0 4285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-in 3077  df-ss 3084  df-uni 3737  df-tr 4027  df-iord 4288  df-on 4290

This theorem is referenced by:  ssonuni  4404  orduni  4411  tfrlem8  6215  tfrexlem  6231