Theorem ssrdv 3098

Description: Deduction based on subclass definition. (Contributed by NM, 15-Nov-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssrdv.1	|- ( ph -> ( x e. A -> x e. B ) )

Assertion

Ref	Expression
ssrdv	|- ( ph -> A C_ B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ph, x

Proof of Theorem ssrdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrdv.1	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A -> x e. B ) )
2	1	alrimiv 1846	. 2 |- ( ph -> A. x ( x e. A -> x e. B ) )
3		dfss2 3081	. 2 |- ( A C_ B <-> A. x ( x e. A -> x e. B ) )
4	2, 3	sylibr 133	1 |- ( ph -> A C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1329   e. wcel 1480   C_ wss 3066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-11 1484  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-in 3072  df-ss 3079

This theorem is referenced by:  eqelssd  3111  sscon  3205  ssdif  3206  unss1  3240  ssrin  3296  eq0rdv  3402  uniss  3752  intss1  3781  intmin  3786  intssunim  3788  iunss1  3819  iinss1  3820  ss2iun  3823  ssiun  3850  ssiun2  3851  iinss  3859  iinss2  3860  exmidundif  4124  exmidundifim  4125  sspwb  4133  tron  4299  ssorduni  4398  ordsson  4403  ordpwsucss  4477  xpsspw  4646  relop  4684  dmss  4733  dmcosseq  4805  ssrnres  4976  chfnrn  5524  ffnfv  5571  f1imass  5668  fo1stresm  6052  fo2ndresm  6053  oprssdmm  6062  fo2ndf  6117  reldmtpos  6143  smoiun  6191  tfrlemi14d  6223  tfr1onlemres  6239  tfri1dALT  6241  tfrcllemres  6252  dcdifsnid  6393  qsss  6481  pmss12g  6562  mapss  6578  ixpssmap2g  6614  ixpssmapg  6615  en2eqpr  6794  exmidpw  6795  onunsnss  6798  undifdcss  6804  ssfii  6855  fiss  6858  difinfsn  6978  addnqprlemrl  7358  addnqprlemru  7359  addnqprlemfl  7360  addnqprlemfu  7361  mulnqprlemrl  7374  mulnqprlemru  7375  mulnqprlemfl  7376  mulnqprlemfu  7377  distrlem1prl  7383  distrlem1pru  7384  distrlem5prl  7387  distrlem5pru  7388  ltprordil  7390  ltexprlemfl  7410  ltexprlemrl  7411  ltexprlemfu  7412  ltexprlemru  7413  addcanprleml  7415  addcanprlemu  7416  recexprlem1ssl  7434  recexprlem1ssu  7435  recexprlemss1l  7436  recexprlemss1u  7437  aptiprleml  7440  aptiprlemu  7441  cauappcvgprlemladdfu  7455  cauappcvgprlemladdfl  7456  cauappcvgprlemladdru  7457  cauappcvgprlemladdrl  7458  caucvgprlemladdfu  7478  caucvgprlemladdrl  7479  suplocexprlemss  7516  suplocexprlemex  7523  peano5uzti  9152  uzss  9339  ixxdisj  9679  ixxss1  9680  ixxss2  9681  ixxss12  9682  iocssre  9729  icossre  9730  iccssre  9731  icodisj  9768  fzss1  9836  fzss2  9837  fzoss1  9941  fzosplit  9947  fzouzsplit  9949  ssfzo12bi  9995  frecuzrdgtcl  10178  frecuzrdgdomlem  10183  ovshftex  10584  summodclem2a  11143  fsum3cvg3  11158  fsum2dlemstep  11196  phimullem  11890  ennnfonelemdm  11922  bastg  12219  tgss  12221  tgtop  12226  tgidm  12232  neisspw  12306  topssnei  12320  tgrest  12327  ssrest  12340  cnss1  12384  cnss2  12385  cnsscnp  12387  cnrest2r  12395  txdis  12435  xblss2ps  12562  xblss2  12563  xmettxlem  12667  xmettx  12668  cncfss  12728  cnopnap  12752  dvfgg  12815  dvcj  12831