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Theorem ssrel2 4456
Description: A subclass relationship depends only on a relation's ordered pairs. This version of ssrel 4454 is restricted to the relation's domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
ssrel2  |-  ( R 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( R  C_  S  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  R  -> 
<. x ,  y >.  e.  S ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y    x, R, y    x, S, y

Proof of Theorem ssrel2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 2994 . . . 4  |-  ( R 
C_  S  ->  ( <. x ,  y >.  e.  R  ->  <. x ,  y >.  e.  S
) )
21a1d 22 . . 3  |-  ( R 
C_  S  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  ( <. x ,  y >.  e.  R  -> 
<. x ,  y >.  e.  S ) ) )
32ralrimivv 2443 . 2  |-  ( R 
C_  S  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  R  -> 
<. x ,  y >.  e.  S ) )
4 eleq1 2142 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  R  <->  <. x ,  y
>.  e.  R ) )
5 eleq1 2142 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  S  <->  <. x ,  y
>.  e.  S ) )
64, 5imbi12d 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( z  e.  R  ->  z  e.  S )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  R  -> 
<. x ,  y >.  e.  S ) ) )
76biimprcd 158 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  R  ->  <. x ,  y >.  e.  S
)  ->  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  R  ->  z  e.  S ) ) )
87ralimi 2427 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  R  ->  <. x ,  y >.  e.  S
)  ->  A. y  e.  B  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  R  ->  z  e.  S ) ) )
98ralimi 2427 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  R  ->  <. x ,  y >.  e.  S
)  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  R  ->  z  e.  S ) ) )
10 r19.23v 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  B  (
z  =  <. x ,  y >.  ->  (
z  e.  R  -> 
z  e.  S ) )  <->  ( E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y >.  ->  ( z  e.  R  ->  z  e.  S ) ) )
1110ralbii 2373 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
z  =  <. x ,  y >.  ->  (
z  e.  R  -> 
z  e.  S ) )  <->  A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y >.  ->  ( z  e.  R  ->  z  e.  S ) ) )
12 r19.23v 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y >.  ->  ( z  e.  R  ->  z  e.  S ) )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  R  ->  z  e.  S ) ) )
1311, 12bitri 182 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
z  =  <. x ,  y >.  ->  (
z  e.  R  -> 
z  e.  S ) )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y >.  ->  ( z  e.  R  ->  z  e.  S ) ) )
149, 13sylib 120 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  R  ->  <. x ,  y >.  e.  S
)  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  R  ->  z  e.  S ) ) )
1514com23 77 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  R  ->  <. x ,  y >.  e.  S
)  ->  ( z  e.  R  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y
>.  ->  z  e.  S
) ) )
1615a2d 26 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  R  ->  <. x ,  y >.  e.  S
)  ->  ( (
z  e.  R  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y >. )  ->  (
z  e.  R  -> 
z  e.  S ) ) )
1716alimdv 1801 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  R  ->  <. x ,  y >.  e.  S
)  ->  ( A. z ( z  e.  R  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  A. z
( z  e.  R  ->  z  e.  S ) ) )
18 dfss2 2989 . . . . 5  |-  ( R 
C_  ( A  X.  B )  <->  A. z
( z  e.  R  ->  z  e.  ( A  X.  B ) ) )
19 elxp2 4389 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( A  X.  B )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y >.
)
2019imbi2i 224 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  R  -> 
z  e.  ( A  X.  B ) )  <-> 
( z  e.  R  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y >. ) )
2120albii 1400 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  e.  R  ->  z  e.  ( A  X.  B
) )  <->  A. z
( z  e.  R  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y >. ) )
2218, 21bitri 182 . . . 4  |-  ( R 
C_  ( A  X.  B )  <->  A. z
( z  e.  R  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y >. ) )
23 dfss2 2989 . . . 4  |-  ( R 
C_  S  <->  A. z
( z  e.  R  ->  z  e.  S ) )
2417, 22, 233imtr4g 203 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  R  ->  <. x ,  y >.  e.  S
)  ->  ( R  C_  ( A  X.  B
)  ->  R  C_  S
) )
2524com12 30 . 2  |-  ( R 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( <. x ,  y
>.  e.  R  ->  <. x ,  y >.  e.  S
)  ->  R  C_  S
) )
263, 25impbid2 141 1  |-  ( R 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( R  C_  S  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  R  -> 
<. x ,  y >.  e.  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1283    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2349   E.wrex 2350    C_ wss 2974   <.cop 3409    X. cxp 4369
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-opab 3848  df-xp 4377
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