Theorem ssrelrel 4466

Description: A subclass relationship determined by ordered triples. Use relrelss 4874 to express the antecedent in terms of the relation predicate. (Contributed by NM, 17-Dec-2008.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ssrelrel	|- ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> ( A C_ B <-> A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z

Proof of Theorem ssrelrel

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2994	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) )
2	1	alrimiv 1796	. . 3 |- ( A C_ B -> A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) )
3	2	alrimivv 1797	. 2 |- ( A C_ B -> A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) )
4		elvvv 4429	. . . . . . . 8 |- ( w e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) <-> E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. )
5		eleq1 2142	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A <-> <. <. x , y >. , z >. e. A ) )
6		eleq1 2142	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. B <-> <. <. x , y >. , z >. e. B ) )
7	5, 6	imbi12d 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = <. <. x , y >. , z >. -> ( ( w e. A -> w e. B ) <-> ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) ) )
8	7	biimprcd 158	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> ( w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
9	8	alimi 1385	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> A. z ( w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
10		19.23v 1805	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z ( w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) <-> ( E. z w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
11	9, 10	sylib 120	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> ( E. z w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
12	11	2alimi 1386	. . . . . . . . 9 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> A. x A. y ( E. z w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
13		19.23vv 1806	. . . . . . . . 9 |- ( A. x A. y ( E. z w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) <-> ( E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
14	12, 13	sylib 120	. . . . . . . 8 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> ( E. x E. y E. z w = <. <. x , y >. , z >. -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
15	4, 14	syl5bi 150	. . . . . . 7 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> ( w e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
16	15	com23 77	. . . . . 6 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> ( w e. A -> ( w e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> w e. B ) ) )
17	16	a2d 26	. . . . 5 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> ( ( w e. A -> w e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) ) -> ( w e. A -> w e. B ) ) )
18	17	alimdv 1801	. . . 4 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> ( A. w ( w e. A -> w e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) ) -> A. w ( w e. A -> w e. B ) ) )
19		dfss2 2989	. . . 4 |- ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) <-> A. w ( w e. A -> w e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) ) )
20		dfss2 2989	. . . 4 |- ( A C_ B <-> A. w ( w e. A -> w e. B ) )
21	18, 19, 20	3imtr4g 203	. . 3 |- ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> A C_ B ) )
22	21	com12 30	. 2 |- ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> ( A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) -> A C_ B ) )
23	3, 22	impbid2 141	1 |- ( A C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) -> ( A C_ B <-> A. x A. y A. z ( <. <. x , y >. , z >. e. A -> <. <. x , y >. , z >. e. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   A.wal 1283   = wceq 1285   E.wex 1422   e. wcel 1434   _Vcvv 2602   C_ wss 2974   <.cop 3409   X. cxp 4369

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-v 2604  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-opab 3848  df-xp 4377

This theorem is referenced by:  eqrelrel  4467