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Theorem strcoll2 10936
Description: Version of ax-strcoll 10935 with one DV condition removed and without initial universal quantifier. (Contributed by BJ, 5-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
strcoll2  |-  ( A. x  e.  a  E. y ph  ->  E. b A. y ( y  e.  b  <->  E. x  e.  a 
ph ) )
Distinct variable groups:    a, b, x, y    ph, b
Allowed substitution hints:    ph( x, y, a)

Proof of Theorem strcoll2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2550 . . 3  |-  ( z  =  a  ->  ( A. x  e.  z  E. y ph  <->  A. x  e.  a  E. y ph ) )
2 rexeq 2551 . . . . . 6  |-  ( z  =  a  ->  ( E. x  e.  z  ph 
<->  E. x  e.  a 
ph ) )
32bibi2d 230 . . . . 5  |-  ( z  =  a  ->  (
( y  e.  b  <->  E. x  e.  z  ph )  <->  ( y  e.  b  <->  E. x  e.  a 
ph ) ) )
43albidv 1746 . . . 4  |-  ( z  =  a  ->  ( A. y ( y  e.  b  <->  E. x  e.  z 
ph )  <->  A. y
( y  e.  b  <->  E. x  e.  a  ph ) ) )
54exbidv 1747 . . 3  |-  ( z  =  a  ->  ( E. b A. y ( y  e.  b  <->  E. x  e.  z  ph )  <->  E. b A. y ( y  e.  b  <->  E. x  e.  a 
ph ) ) )
61, 5imbi12d 232 . 2  |-  ( z  =  a  ->  (
( A. x  e.  z  E. y ph  ->  E. b A. y
( y  e.  b  <->  E. x  e.  z  ph ) )  <->  ( A. x  e.  a  E. y ph  ->  E. b A. y ( y  e.  b  <->  E. x  e.  a 
ph ) ) ) )
7 ax-strcoll 10935 . . 3  |-  A. z
( A. x  e.  z  E. y ph  ->  E. b A. y
( y  e.  b  <->  E. x  e.  z  ph ) )
87spi 1470 . 2  |-  ( A. x  e.  z  E. y ph  ->  E. b A. y ( y  e.  b  <->  E. x  e.  z 
ph ) )
96, 8chvarv 1854 1  |-  ( A. x  e.  a  E. y ph  ->  E. b A. y ( y  e.  b  <->  E. x  e.  a 
ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 103   A.wal 1283   E.wex 1422   A.wral 2349   E.wrex 2350
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-strcoll 10935
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355
This theorem is referenced by:  strcollnft  10937  strcollnfALT  10939
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