Theorem subcld 7486

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
subcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. CC )

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		subcl 7374	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
4	1, 2, 3	syl2anc 403	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1434  (class class class)co 5543   CCcc 7041   - cmin 7346

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-setind 4288  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-sub 7348

This theorem is referenced by:  pnpncand  7546  kcnktkm1cn  7554  muleqadd  7825  peano2zm  8470  peano5uzti  8536  modqmuladdnn0  9450  modsumfzodifsn  9478  shftfvalg  9844  ovshftex  9845  shftfibg  9846  shftfval  9847  shftdm  9848  shftfib  9849  shftval  9851  2shfti  9857  crre  9882  remim  9885  remullem  9896  resqrexlemover  10034  resqrexlemcalc1  10038  abssubne0  10115  abs3lem  10135  caubnd2  10141  maxabslemlub  10231  maxabslemval  10232  maxcl  10234  climuni  10270  mulcn2  10289  cn1lem  10290  climcvg1nlem  10324  qdencn  10943