ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subdid Unicode version

Theorem subdid 8144
Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
mulnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
subdid.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
subdid  |-  ( ph  ->  ( A  x.  ( B  -  C )
)  =  ( ( A  x.  B )  -  ( A  x.  C ) ) )

Proof of Theorem subdid
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mulnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subdid.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 subdi 8115 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B  -  C ) )  =  ( ( A  x.  B )  -  ( A  x.  C )
) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1201 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  ( B  -  C )
)  =  ( ( A  x.  B )  -  ( A  x.  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1316    e. wcel 1465  (class class class)co 5742   CCcc 7586    x. cmul 7593    - cmin 7901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-setind 4422  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-sub 7903
This theorem is referenced by:  cru  8332  recextlem1  8380  cju  8687  zneo  9120  lincmb01cmp  9754  iccf1o  9755  intfracq  10061  modqlt  10074  modqdi  10133  modqsubdir  10134  subsq  10367  crre  10597  remullem  10611  mulcn2  11049  fsumparts  11207  geosergap  11243  mertensabs  11274  tanval3ap  11348  tanaddap  11373  eirraplem  11410  bezoutlemnewy  11611  cncongr1  11711  dvmulxxbr  12762  tangtx  12846  qdencn  13149
  Copyright terms: Public domain W3C validator