Theorem subneg 8004

Description: Relationship between subtraction and negative. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
subneg	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - -u B ) = ( A + B ) )

Proof of Theorem subneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 7929	. . . 4 |- -u B = ( 0 - B )
2	1	oveq2i 5778	. . 3 |- ( A - -u B ) = ( A - ( 0 - B ) )
3		0cn 7751	. . . 4 |- 0 e. CC
4		subsub 7985	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ 0 e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - ( 0 - B ) ) = ( ( A - 0 ) + B ) )
5	3, 4	mp3an2 1303	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - ( 0 - B ) ) = ( ( A - 0 ) + B ) )
6	2, 5	syl5eq 2182	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - -u B ) = ( ( A - 0 ) + B ) )
7		subid1 7975	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( A - 0 ) = A )
8	7	adantr 274	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - 0 ) = A )
9	8	oveq1d 5782	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A - 0 ) + B ) = ( A + B ) )
10	6, 9	eqtrd 2170	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - -u B ) = ( A + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480  (class class class)co 5767   CCcc 7611   0cc0 7613   + caddc 7616   - cmin 7926   -ucneg 7927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-setind 4447  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-sub 7928  df-neg 7929

This theorem is referenced by:  negneg  8005  negdi  8012  neg2sub  8015  subnegi  8034  subnegd  8073  recextlem1  8405  fzshftral  9881  shftval4  10593  fsumshftm  11207  eftlub  11385  summodnegmod  11513