ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sumdc Unicode version

Theorem sumdc 11095
Description: Decidability of a subset of upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdc.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
sumdc.ss  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
sumdc.dc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  A )
sumdc.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
sumdc  |-  ( ph  -> DECID  N  e.  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, M    x, N
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem sumdc
StepHypRef Expression
1 sumdc.dc . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  A )
2 eleq1 2180 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
x  e.  A  <->  N  e.  A ) )
32dcbid 808 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (DECID  x  e.  A  <-> DECID  N  e.  A )
)
43rspcv 2759 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  A  -> DECID  N  e.  A ) )
51, 4mpan9 279 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  N  e.  A
)
6 sumdc.ss . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
76ssneld 3069 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -.  N  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  -.  N  e.  A
) )
87imp 123 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  -.  N  e.  A )
98olcd 708 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( N  e.  A  \/  -.  N  e.  A )
)
10 df-dc 805 . . 3  |-  (DECID  N  e.  A  <->  ( N  e.  A  \/  -.  N  e.  A ) )
119, 10sylibr 133 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  N  e.  A
)
12 sumdc.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
13 sumdc.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
14 eluzdc 9372 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  N  e.  ( ZZ>= `  M
) )
1512, 13, 14syl2anc 408 . . 3  |-  ( ph  -> DECID  N  e.  ( ZZ>= `  M
) )
16 exmiddc 806 . . 3  |-  (DECID  N  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  \/ 
-.  N  e.  (
ZZ>= `  M ) ) )
1715, 16syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  \/ 
-.  N  e.  (
ZZ>= `  M ) ) )
185, 11, 17mpjaodan 772 1  |-  ( ph  -> DECID  N  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 682  DECID wdc 804    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393    C_ wss 3041   ` cfv 5093   ZZcz 9022   ZZ>=cuz 9294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295
This theorem is referenced by:  sumeq2  11096
  Copyright terms: Public domain W3C validator