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Theorem sumeq2 10398
Description: Equality theorem for sum. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
sumeq2  |-  ( A. k  e.  A  B  =  C  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C
)
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem sumeq2
Dummy variables  f  j  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  /\  n  e.  ZZ )  /\  n  e.  A
)  ->  n  e.  A )
2 simp-4l 508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  /\  n  e.  ZZ )  /\  n  e.  A
)  ->  A. k  e.  A  B  =  C )
3 nfcsb1v 2947 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ B
4 nfcsb1v 2947 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ C
53, 4nfeq 2230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k
[_ n  /  k ]_ B  =  [_ n  /  k ]_ C
6 csbeq1a 2925 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  n  ->  B  =  [_ n  /  k ]_ B )
7 csbeq1a 2925 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  n  ->  C  =  [_ n  /  k ]_ C )
86, 7eqeq12d 2097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  ( B  =  C  <->  [_ n  / 
k ]_ B  =  [_ n  /  k ]_ C
) )
95, 8rspc 2704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  =  C  ->  [_ n  /  k ]_ B  =  [_ n  / 
k ]_ C ) )
101, 2, 9sylc 61 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  /\  n  e.  ZZ )  /\  n  e.  A
)  ->  [_ n  / 
k ]_ B  =  [_ n  /  k ]_ C
)
11 simpllr 501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  /\  n  e.  ZZ )  ->  m  e.  ZZ )
12 simplrl 502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  /\  n  e.  ZZ )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  m ) )
13 simplrr 503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  /\  n  e.  ZZ )  ->  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )
14 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  /\  n  e.  ZZ )  ->  n  e.  ZZ )
1511, 12, 13, 14sumdc 10396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  /\  n  e.  ZZ )  -> DECID  n  e.  A )
1610, 15ifeq1dadc 3396 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  /\  n  e.  ZZ )  ->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) )
1716mpteq2dva 3888 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  -> 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )
18 iseqeq3 9578 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) )  ->  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  =  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC ) )
1917, 18syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  ->  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  =  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC ) )
2019breq1d 3815 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A ) )  -> 
(  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x  <->  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x ) )
2120pm5.32da 440 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  <->  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x ) ) )
22 df-3an 922 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  <->  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x ) )
23 df-3an 922 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  <->  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x ) )
2421, 22, 233bitr4g 221 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  <->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x ) ) )
2524rexbidva 2370 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  B  =  C  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  <->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x ) ) )
26 f1of 5177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... m
) --> A )
2726ad3antlr 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  n  <_  m )  ->  f : ( 1 ... m ) --> A )
28 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  n  <_  m )  ->  n  e.  NN )
29 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  n  <_  m )  ->  n  <_  m )
30 simp-4r 509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  n  <_  m )  ->  m  e.  NN )
3130nnzd 8601 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  n  <_  m )  ->  m  e.  ZZ )
32 fznn 9234 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
n  e.  ( 1 ... m )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_  m ) ) )
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  n  <_  m )  ->  (
n  e.  ( 1 ... m )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_  m ) ) )
3428, 29, 33mpbir2and 886 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  n  <_  m )  ->  n  e.  ( 1 ... m
) )
3527, 34ffvelrnd 5355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  n  <_  m )  ->  (
f `  n )  e.  A )
36 simp-4l 508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  n  <_  m )  ->  A. k  e.  A  B  =  C )
37 nfcsb1v 2947 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B
38 nfcsb1v 2947 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ k [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C
3937, 38nfeq 2230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k
[_ ( f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
40 csbeq1a 2925 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  B  =  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B )
41 csbeq1a 2925 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  C  =  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C )
4240, 41eqeq12d 2097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  ( B  =  C  <->  [_ ( f `
 n )  / 
k ]_ B  =  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) )
4339, 42rspc 2704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  n )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  =  C  ->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B  =  [_ ( f `
 n )  / 
k ]_ C ) )
4435, 36, 43sylc 61 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  /\  n  <_  m )  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C )
45 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
4645nnzd 8601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
47 simpllr 501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
4847nnzd 8601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  m  e.  ZZ )
49 zdcle 8557 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  -> DECID  n  <_  m )
5046, 48, 49syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  -> DECID  n  <_  m )
5144, 50ifeq1dadc 3396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( n  <_  m , 
[_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) )
5251mpteq2dva 3888 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) )
53 iseqeq3 9578 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) )  ->  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC ) )
5452, 53syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC ) )
5554fveq1d 5231 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) )
5655eqeq2d 2094 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  ( x  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m )  <->  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) )
5756pm5.32da 440 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) )  <-> 
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) )
5857exbidv 1748 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  A  B  =  C  /\  m  e.  NN )  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) )  <->  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) )
5958rexbidva 2370 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  B  =  C  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) )
6025, 59orbi12d 740 . . 3  |-  ( A. k  e.  A  B  =  C  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) )  <->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) ) )
6160iotabidv 4938 . 2  |-  ( A. k  e.  A  B  =  C  ->  ( iota
x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) )  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) ) )
62 df-isum 10392 . 2  |-  sum_ k  e.  A  B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) )
63 df-isum 10392 . 2  |-  sum_ k  e.  A  C  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ,  0 ) ) ,  CC ) `
 m ) ) ) )
6461, 62, 633eqtr4g 2140 1  |-  ( A. k  e.  A  B  =  C  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662  DECID wdc 776    /\ w3a 920    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   A.wral 2353   E.wrex 2354   [_csb 2917    C_ wss 2982   ifcif 3368   class class class wbr 3805    |-> cmpt 3859   iotacio 4915   -->wf 4948   -1-1-onto->wf1o 4951   ` cfv 4952  (class class class)co 5563   CCcc 7093   0cc0 7095   1c1 7096    + caddc 7098    <_ cle 7268   NNcn 8158   ZZcz 8484   ZZ>=cuz 8752   ...cfz 9157    seqcseq 9573    ~~> cli 10318   sum_csu 10391
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-addcom 7190  ax-addass 7192  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-ltadd 7206
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-recs 5974  df-frec 6060  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-inn 8159  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-fz 9158  df-iseq 9574  df-isum 10392
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