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Theorem supeq1 6493
Description: Equality theorem for supremum. (Contributed by NM, 22-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
supeq1  |-  ( B  =  C  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  sup ( C ,  A ,  R ) )

Proof of Theorem supeq1
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2554 . . . . 5  |-  ( B  =  C  ->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  <->  A. y  e.  C  -.  x R y ) )
2 rexeq 2555 . . . . . . 7  |-  ( B  =  C  ->  ( E. z  e.  B  y R z  <->  E. z  e.  C  y R
z ) )
32imbi2d 228 . . . . . 6  |-  ( B  =  C  ->  (
( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R
z ) ) )
43ralbidv 2373 . . . . 5  |-  ( B  =  C  ->  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R
z ) ) )
51, 4anbi12d 457 . . . 4  |-  ( B  =  C  ->  (
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )  <->  ( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  C  y R z ) ) ) )
65rabbidv 2599 . . 3  |-  ( B  =  C  ->  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  =  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R z ) ) } )
76unieqd 3632 . 2  |-  ( B  =  C  ->  U. {
x  e.  A  | 
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) }  =  U. { x  e.  A  |  ( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R z ) ) } )
8 df-sup 6491 . 2  |-  sup ( B ,  A ,  R )  =  U. { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }
9 df-sup 6491 . 2  |-  sup ( C ,  A ,  R )  =  U. { x  e.  A  |  ( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  C  y R z ) ) }
107, 8, 93eqtr4g 2140 1  |-  ( B  =  C  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  sup ( C ,  A ,  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285   A.wral 2353   E.wrex 2354   {crab 2357   U.cuni 3621   class class class wbr 3805   supcsup 6489
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-uni 3622  df-sup 6491
This theorem is referenced by:  supeq1d  6494  supeq1i  6495  infeq1  6518
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