Theorem supisoex 6481

Description: Lemma for supisoti 6482. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
supiso.1	|- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
supiso.2	|- ( ph -> C C_ A )
supisoex.3	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) )

Assertion

Ref	Expression
supisoex	|- ( ph -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )

Distinct variable groups:   v, u, w, x, y, z, A   u, C, v, w, x, y, z   ph, u, w   u, F, v, w, x, y, z   u, R, w, x, y, z   u, S, v, w, x, y, z   u, B, v, w, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, v)   R( v)

Proof of Theorem supisoex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supisoex.3	. 2 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) )
2		supiso.1	. . 3 |- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
3		supiso.2	. . 3 |- ( ph -> C C_ A )
4		simpl 107	. . . . . 6 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) -> F Isom R , S ( A , B ) )
5		simpr 108	. . . . . 6 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) -> C C_ A )
6	4, 5	supisolem 6480	. . . . 5 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ x e. A ) -> ( ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) <-> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` x ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` x ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
7		isof1o 5478	. . . . . . . 8 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
8		f1of 5157	. . . . . . . 8 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A --> B )
9	4, 7, 8	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) -> F : A --> B )
10	9	ffvelrnda 5334	. . . . . 6 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. B )
11		breq1 3796	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( F ` x ) -> ( u S w <-> ( F ` x ) S w ) )
12	11	notbid 625	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( F ` x ) -> ( -. u S w <-> -. ( F ` x ) S w ) )
13	12	ralbidv 2369	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( F ` x ) -> ( A. w e. ( F " C ) -. u S w <-> A. w e. ( F " C ) -. ( F ` x ) S w ) )
14		breq2 3797	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( F ` x ) -> ( w S u <-> w S ( F ` x ) ) )
15	14	imbi1d 229	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( F ` x ) -> ( ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) <-> ( w S ( F ` x ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )
16	15	ralbidv 2369	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( F ` x ) -> ( A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) <-> A. w e. B ( w S ( F ` x ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )
17	13, 16	anbi12d 457	. . . . . . . 8 |- ( u = ( F ` x ) -> ( ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) <-> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` x ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` x ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
18	17	rspcev 2702	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` x ) e. B /\ ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` x ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` x ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )
19	18	ex 113	. . . . . 6 |- ( ( F ` x ) e. B -> ( ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` x ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` x ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
20	10, 19	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ x e. A ) -> ( ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` x ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` x ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
21	6, 20	sylbid 148	. . . 4 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ x e. A ) -> ( ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
22	21	rexlimdva 2478	. . 3 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) -> ( E. x e. A ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
23	2, 3, 22	syl2anc 403	. 2 |- ( ph -> ( E. x e. A ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
24	1, 23	mpd 13	1 |- ( ph -> E. u e. B ( A. w e. ( F " C ) -. u S w /\ A. w e. B ( w S u -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1285   e. wcel 1434   A.wral 2349   E.wrex 2350   C_ wss 2974   class class class wbr 3793   "cima 4374   -->wf 4928   -1-1-onto->wf1o 4931   ` cfv 4932   Isom wiso 4933

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-sbc 2817  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-isom 4941

This theorem is referenced by: (None)