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Theorem supisoex 6481
Description: Lemma for supisoti 6482. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
supiso.1  |-  ( ph  ->  F  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
supiso.2  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
supisoex.3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R z ) ) )
Assertion
Ref Expression
supisoex  |-  ( ph  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) )
Distinct variable groups:    v, u, w, x, y, z, A   
u, C, v, w, x, y, z    ph, u, w    u, F, v, w, x, y, z    u, R, w, x, y, z   
u, S, v, w, x, y, z    u, B, v, w, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, v)    R( v)

Proof of Theorem supisoex
StepHypRef Expression
1 supisoex.3 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R z ) ) )
2 supiso.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
3 supiso.2 . . 3  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
4 simpl 107 . . . . . 6  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  ->  F  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
5 simpr 108 . . . . . 6  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  ->  C  C_  A )
64, 5supisolem 6480 . . . . 5  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  x  e.  A )  ->  (
( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R
z ) )  <->  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  ( F `  x ) S w  /\  A. w  e.  B  ( w S ( F `  x )  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
7 isof1o 5478 . . . . . . . 8  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  F : A -1-1-onto-> B
)
8 f1of 5157 . . . . . . . 8  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  F : A
--> B )
94, 7, 83syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  ->  F : A --> B )
109ffvelrnda 5334 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  B )
11 breq1 3796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( F `  x )  ->  (
u S w  <->  ( F `  x ) S w ) )
1211notbid 625 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( F `  x )  ->  ( -.  u S w  <->  -.  ( F `  x ) S w ) )
1312ralbidv 2369 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( F `  x )  ->  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  <->  A. w  e.  ( F " C
)  -.  ( F `
 x ) S w ) )
14 breq2 3797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( F `  x )  ->  (
w S u  <->  w S
( F `  x
) ) )
1514imbi1d 229 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( F `  x )  ->  (
( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C ) w S v )  <-> 
( w S ( F `  x )  ->  E. v  e.  ( F " C ) w S v ) ) )
1615ralbidv 2369 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( F `  x )  ->  ( A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C ) w S v )  <->  A. w  e.  B  ( w S ( F `  x )  ->  E. v  e.  ( F " C ) w S v ) ) )
1713, 16anbi12d 457 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( F `  x )  ->  (
( A. w  e.  ( F " C
)  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) )  <->  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  ( F `  x ) S w  /\  A. w  e.  B  ( w S ( F `  x )  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
1817rspcev 2702 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  B  /\  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  ( F `  x ) S w  /\  A. w  e.  B  ( w S ( F `  x
)  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) )  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) )
1918ex 113 . . . . . 6  |-  ( ( F `  x )  e.  B  ->  (
( A. w  e.  ( F " C
)  -.  ( F `
 x ) S w  /\  A. w  e.  B  ( w S ( F `  x )  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) )  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
2010, 19syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  x  e.  A )  ->  (
( A. w  e.  ( F " C
)  -.  ( F `
 x ) S w  /\  A. w  e.  B  ( w S ( F `  x )  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) )  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
216, 20sylbid 148 . . . 4  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  x  e.  A )  ->  (
( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R
z ) )  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
2221rexlimdva 2478 . . 3  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  ->  ( E. x  e.  A  ( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R z ) )  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
232, 3, 22syl2anc 403 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  A  ( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  C  y R z ) )  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
241, 23mpd 13 1  |-  ( ph  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2349   E.wrex 2350    C_ wss 2974   class class class wbr 3793   "cima 4374   -->wf 4928   -1-1-onto->wf1o 4931   ` cfv 4932    Isom wiso 4933
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-sbc 2817  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-isom 4941
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