Theorem supisolem 6888

Description: Lemma for supisoti 6890. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
supiso.1	|- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
supiso.2	|- ( ph -> C C_ A )

Assertion

Ref	Expression
supisolem	|- ( ( ph /\ D e. A ) -> ( ( A. y e. C -. D R y /\ A. y e. A ( y R D -> E. z e. C y R z ) ) <-> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` D ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )

Distinct variable groups:   w, v, y, z, A   v, C, w, y, z   w, D, y, z   ph, w   v, F, w, y, z   w, R, y, z   v, S, w, y, z   v, B, w, y, z

Allowed substitution hints:   ph( y, z, v)   D( v)   R( v)

Proof of Theorem supisolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supiso.1	. . 3 |- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
2		supiso.2	. . 3 |- ( ph -> C C_ A )
3	1, 2	jca 304	. 2 |- ( ph -> ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) )
4		simpll 518	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> F Isom R , S ( A , B ) )
5	4	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. C ) -> F Isom R , S ( A , B ) )
6		simplr 519	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. C ) -> D e. A )
7		simplr 519	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> C C_ A )
8	7	sselda 3092	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. C ) -> y e. A )
9		isorel 5702	. . . . . . 7 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( D e. A /\ y e. A ) ) -> ( D R y <-> ( F ` D ) S ( F ` y ) ) )
10	5, 6, 8, 9	syl12anc 1214	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. C ) -> ( D R y <-> ( F ` D ) S ( F ` y ) ) )
11	10	notbid 656	. . . . 5 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. C ) -> ( -. D R y <-> -. ( F ` D ) S ( F ` y ) ) )
12	11	ralbidva 2431	. . . 4 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> ( A. y e. C -. D R y <-> A. y e. C -. ( F ` D ) S ( F ` y ) ) )
13		isof1o 5701	. . . . . . 7 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
14	4, 13	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> F : A -1-1-onto-> B )
15		f1ofn 5361	. . . . . 6 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F Fn A )
16	14, 15	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> F Fn A )
17		breq2 3928	. . . . . . 7 |- ( w = ( F ` y ) -> ( ( F ` D ) S w <-> ( F ` D ) S ( F ` y ) ) )
18	17	notbid 656	. . . . . 6 |- ( w = ( F ` y ) -> ( -. ( F ` D ) S w <-> -. ( F ` D ) S ( F ` y ) ) )
19	18	ralima 5650	. . . . 5 |- ( ( F Fn A /\ C C_ A ) -> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` D ) S w <-> A. y e. C -. ( F ` D ) S ( F ` y ) ) )
20	16, 7, 19	syl2anc 408	. . . 4 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` D ) S w <-> A. y e. C -. ( F ` D ) S ( F ` y ) ) )
21	12, 20	bitr4d 190	. . 3 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> ( A. y e. C -. D R y <-> A. w e. ( F " C ) -. ( F ` D ) S w ) )
22	4	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> F Isom R , S ( A , B ) )
23		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> y e. A )
24		simplr 519	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> D e. A )
25		isorel 5702	. . . . . . 7 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( y e. A /\ D e. A ) ) -> ( y R D <-> ( F ` y ) S ( F ` D ) ) )
26	22, 23, 24, 25	syl12anc 1214	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> ( y R D <-> ( F ` y ) S ( F ` D ) ) )
27	22	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) /\ z e. C ) -> F Isom R , S ( A , B ) )
28		simplr 519	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) /\ z e. C ) -> y e. A )
29	7	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> C C_ A )
30	29	sselda 3092	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) /\ z e. C ) -> z e. A )
31		isorel 5702	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> ( y R z <-> ( F ` y ) S ( F ` z ) ) )
32	27, 28, 30, 31	syl12anc 1214	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) /\ z e. C ) -> ( y R z <-> ( F ` y ) S ( F ` z ) ) )
33	32	rexbidva 2432	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> ( E. z e. C y R z <-> E. z e. C ( F ` y ) S ( F ` z ) ) )
34	16	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> F Fn A )
35		breq2 3928	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( F ` z ) -> ( ( F ` y ) S v <-> ( F ` y ) S ( F ` z ) ) )
36	35	rexima 5649	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn A /\ C C_ A ) -> ( E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v <-> E. z e. C ( F ` y ) S ( F ` z ) ) )
37	34, 29, 36	syl2anc 408	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> ( E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v <-> E. z e. C ( F ` y ) S ( F ` z ) ) )
38	33, 37	bitr4d 190	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> ( E. z e. C y R z <-> E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v ) )
39	26, 38	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( y R D -> E. z e. C y R z ) <-> ( ( F ` y ) S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v ) ) )
40	39	ralbidva 2431	. . . 4 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> ( A. y e. A ( y R D -> E. z e. C y R z ) <-> A. y e. A ( ( F ` y ) S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v ) ) )
41		f1ofo 5367	. . . . 5 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A -onto-> B )
42		breq1 3927	. . . . . . 7 |- ( ( F ` y ) = w -> ( ( F ` y ) S ( F ` D ) <-> w S ( F ` D ) ) )
43		breq1 3927	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` y ) = w -> ( ( F ` y ) S v <-> w S v ) )
44	43	rexbidv 2436	. . . . . . 7 |- ( ( F ` y ) = w -> ( E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v <-> E. v e. ( F " C ) w S v ) )
45	42, 44	imbi12d 233	. . . . . 6 |- ( ( F ` y ) = w -> ( ( ( F ` y ) S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v ) <-> ( w S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )
46	45	cbvfo 5679	. . . . 5 |- ( F : A -onto-> B -> ( A. y e. A ( ( F ` y ) S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v ) <-> A. w e. B ( w S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )
47	14, 41, 46	3syl 17	. . . 4 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> ( A. y e. A ( ( F ` y ) S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) ( F ` y ) S v ) <-> A. w e. B ( w S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )
48	40, 47	bitrd 187	. . 3 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> ( A. y e. A ( y R D -> E. z e. C y R z ) <-> A. w e. B ( w S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) )
49	21, 48	anbi12d 464	. 2 |- ( ( ( F Isom R , S ( A , B ) /\ C C_ A ) /\ D e. A ) -> ( ( A. y e. C -. D R y /\ A. y e. A ( y R D -> E. z e. C y R z ) ) <-> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` D ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )
50	3, 49	sylan 281	1 |- ( ( ph /\ D e. A ) -> ( ( A. y e. C -. D R y /\ A. y e. A ( y R D -> E. z e. C y R z ) ) <-> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` D ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` D ) -> E. v e. ( F " C ) w S v ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2414   E.wrex 2415   C_ wss 3066   class class class wbr 3924   "cima 4537   Fn wfn 5113   -onto->wfo 5116   -1-1-onto->wf1o 5117   ` cfv 5118   Isom wiso 5119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-sbc 2905  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127

This theorem is referenced by:  supisoex  6889  supisoti  6890