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Theorem supisolem 6480
Description: Lemma for supisoti 6482. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
supiso.1  |-  ( ph  ->  F  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
supiso.2  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
Assertion
Ref Expression
supisolem  |-  ( (
ph  /\  D  e.  A )  ->  (
( A. y  e.  C  -.  D R y  /\  A. y  e.  A  ( y R D  ->  E. z  e.  C  y R
z ) )  <->  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  ( F `  D ) S w  /\  A. w  e.  B  ( w S ( F `  D )  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
Distinct variable groups:    w, v, y, z, A    v, C, w, y, z    w, D, y, z    ph, w    v, F, w, y, z   
w, R, y, z   
v, S, w, y, z    v, B, w, y, z
Allowed substitution hints:    ph( y, z, v)    D( v)    R( v)

Proof of Theorem supisolem
StepHypRef Expression
1 supiso.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
2 supiso.2 . . 3  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
31, 2jca 300 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A ) )
4 simpll 496 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  ->  F  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
54adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  C
)  ->  F  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
6 simplr 497 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  C
)  ->  D  e.  A )
7 simplr 497 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  ->  C  C_  A )
87sselda 3000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  C
)  ->  y  e.  A )
9 isorel 5479 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  ( D  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( D R y  <->  ( F `  D ) S ( F `  y ) ) )
105, 6, 8, 9syl12anc 1168 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  C
)  ->  ( D R y  <->  ( F `  D ) S ( F `  y ) ) )
1110notbid 625 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  C
)  ->  ( -.  D R y  <->  -.  ( F `  D ) S ( F `  y ) ) )
1211ralbidva 2365 . . . 4  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  ->  ( A. y  e.  C  -.  D R y  <->  A. y  e.  C  -.  ( F `  D ) S ( F `  y ) ) )
13 isof1o 5478 . . . . . . 7  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  F : A -1-1-onto-> B
)
144, 13syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  ->  F : A -1-1-onto-> B )
15 f1ofn 5158 . . . . . 6  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  F  Fn  A )
1614, 15syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  ->  F  Fn  A )
17 breq2 3797 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( F `  y )  ->  (
( F `  D
) S w  <->  ( F `  D ) S ( F `  y ) ) )
1817notbid 625 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( F `  y )  ->  ( -.  ( F `  D
) S w  <->  -.  ( F `  D ) S ( F `  y ) ) )
1918ralima 5427 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  A  /\  C  C_  A )  -> 
( A. w  e.  ( F " C
)  -.  ( F `
 D ) S w  <->  A. y  e.  C  -.  ( F `  D
) S ( F `
 y ) ) )
2016, 7, 19syl2anc 403 . . . 4  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  ->  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  ( F `  D
) S w  <->  A. y  e.  C  -.  ( F `  D ) S ( F `  y ) ) )
2112, 20bitr4d 189 . . 3  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  ->  ( A. y  e.  C  -.  D R y  <->  A. w  e.  ( F " C
)  -.  ( F `
 D ) S w ) )
224adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  F  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
23 simpr 108 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  A )
24 simplr 497 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  D  e.  A )
25 isorel 5479 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
y  e.  A  /\  D  e.  A )
)  ->  ( y R D  <->  ( F `  y ) S ( F `  D ) ) )
2622, 23, 24, 25syl12anc 1168 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y R D  <->  ( F `  y ) S ( F `  D ) ) )
2722adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A
)  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  C )  ->  F  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
28 simplr 497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A
)  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  C )  ->  y  e.  A )
297adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  C  C_  A
)
3029sselda 3000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A
)  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  C )  ->  z  e.  A )
31 isorel 5479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
y  e.  A  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y R z  <->  ( F `  y ) S ( F `  z ) ) )
3227, 28, 30, 31syl12anc 1168 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A
)  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  C )  ->  (
y R z  <->  ( F `  y ) S ( F `  z ) ) )
3332rexbidva 2366 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( E. z  e.  C  y R z  <->  E. z  e.  C  ( F `  y ) S ( F `  z ) ) )
3416adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  F  Fn  A )
35 breq2 3797 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( F `  z )  ->  (
( F `  y
) S v  <->  ( F `  y ) S ( F `  z ) ) )
3635rexima 5426 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  A  /\  C  C_  A )  -> 
( E. v  e.  ( F " C
) ( F `  y ) S v  <->  E. z  e.  C  ( F `  y ) S ( F `  z ) ) )
3734, 29, 36syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( E. v  e.  ( F " C ) ( F `
 y ) S v  <->  E. z  e.  C  ( F `  y ) S ( F `  z ) ) )
3833, 37bitr4d 189 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( E. z  e.  C  y R z  <->  E. v  e.  ( F " C
) ( F `  y ) S v ) )
3926, 38imbi12d 232 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( (
y R D  ->  E. z  e.  C  y R z )  <->  ( ( F `  y ) S ( F `  D )  ->  E. v  e.  ( F " C
) ( F `  y ) S v ) ) )
4039ralbidva 2365 . . . 4  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  ( y R D  ->  E. z  e.  C  y R z )  <->  A. y  e.  A  ( ( F `  y ) S ( F `  D )  ->  E. v  e.  ( F " C
) ( F `  y ) S v ) ) )
41 f1ofo 5164 . . . . 5  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  F : A -onto-> B )
42 breq1 3796 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  (
( F `  y
) S ( F `
 D )  <->  w S
( F `  D
) ) )
43 breq1 3796 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  (
( F `  y
) S v  <->  w S
v ) )
4443rexbidv 2370 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  ( E. v  e.  ( F " C ) ( F `  y ) S v  <->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) )
4542, 44imbi12d 232 . . . . . 6  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  (
( ( F `  y ) S ( F `  D )  ->  E. v  e.  ( F " C ) ( F `  y
) S v )  <-> 
( w S ( F `  D )  ->  E. v  e.  ( F " C ) w S v ) ) )
4645cbvfo 5456 . . . . 5  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( A. y  e.  A  ( ( F `
 y ) S ( F `  D
)  ->  E. v  e.  ( F " C
) ( F `  y ) S v )  <->  A. w  e.  B  ( w S ( F `  D )  ->  E. v  e.  ( F " C ) w S v ) ) )
4714, 41, 463syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  ( ( F `  y ) S ( F `  D )  ->  E. v  e.  ( F " C ) ( F `  y
) S v )  <->  A. w  e.  B  ( w S ( F `  D )  ->  E. v  e.  ( F " C ) w S v ) ) )
4840, 47bitrd 186 . . 3  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  ( y R D  ->  E. z  e.  C  y R z )  <->  A. w  e.  B  ( w S ( F `  D )  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) )
4921, 48anbi12d 457 . 2  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  ->  (
( A. y  e.  C  -.  D R y  /\  A. y  e.  A  ( y R D  ->  E. z  e.  C  y R
z ) )  <->  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  ( F `  D ) S w  /\  A. w  e.  B  ( w S ( F `  D )  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
503, 49sylan 277 1  |-  ( (
ph  /\  D  e.  A )  ->  (
( A. y  e.  C  -.  D R y  /\  A. y  e.  A  ( y R D  ->  E. z  e.  C  y R
z ) )  <->  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  ( F `  D ) S w  /\  A. w  e.  B  ( w S ( F `  D )  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2349   E.wrex 2350    C_ wss 2974   class class class wbr 3793   "cima 4374    Fn wfn 4927   -onto->wfo 4930   -1-1-onto->wf1o 4931   ` cfv 4932    Isom wiso 4933
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-sbc 2817  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-isom 4941
This theorem is referenced by:  supisoex  6481  supisoti  6482
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