Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  supminfex Unicode version

Theorem supminfex 8818
 Description: A supremum is the negation of the infimum of that set's image under negation. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
supminfex.ex
supminfex.ss
Assertion
Ref Expression
supminfex inf
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem supminfex
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supminfex.ex . . . . 5
2 supminfex.ss . . . . 5
31, 2supinfneg 8816 . . . 4
4 ssrab2 3088 . . . . 5
54a1i 9 . . . 4
63, 5infrenegsupex 8815 . . 3 inf
7 elrabi 2754 . . . . . . 7
87adantl 271 . . . . . 6
92sselda 3008 . . . . . 6
10 negeq 7420 . . . . . . . . . 10
1110eleq1d 2151 . . . . . . . . 9
1211elrab3 2758 . . . . . . . 8
13 renegcl 7488 . . . . . . . . 9
14 negeq 7420 . . . . . . . . . . 11
1514eleq1d 2151 . . . . . . . . . 10
1615elrab3 2758 . . . . . . . . 9
1713, 16syl 14 . . . . . . . 8
18 recn 7220 . . . . . . . . . 10
1918negnegd 7529 . . . . . . . . 9
2019eleq1d 2151 . . . . . . . 8
2112, 17, 203bitrd 212 . . . . . . 7
2221adantl 271 . . . . . 6
238, 9, 22eqrdav 2082 . . . . 5
2423supeq1d 6494 . . . 4
2524negeqd 7422 . . 3
266, 25eqtrd 2115 . 2 inf
27 lttri3 7310 . . . . . 6
2827adantl 271 . . . . 5
2928, 3infclti 6530 . . . 4 inf
3029recnd 7261 . . 3 inf
3128, 1supclti 6505 . . . 4
3231recnd 7261 . . 3
33 negcon2 7480 . . 3 inf inf inf
3430, 32, 33syl2anc 403 . 2 inf inf
3526, 34mpbid 145 1 inf
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 102   wb 103   wceq 1285   wcel 1434  wral 2353  wrex 2354  crab 2357   wss 2982   class class class wbr 3805  csup 6489  infcinf 6490  cc 7093  cr 7094   clt 7267  cneg 7399 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-addcom 7190  ax-addass 7192  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-isom 4961  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-sup 6491  df-inf 6492  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-ltxr 7272  df-sub 7400  df-neg 7401 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator