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Theorem tfi 4333
Description: The Principle of Transfinite Induction. Theorem 7.17 of [TakeutiZaring] p. 39. This principle states that if  A is a class of ordinal numbers with the property that every ordinal number included in  A also belongs to  A, then every ordinal number is in  A.

(Contributed by NM, 18-Feb-2004.)

Assertion
Ref Expression
tfi  |-  ( ( A  C_  On  /\  A. x  e.  On  (
x  C_  A  ->  x  e.  A ) )  ->  A  =  On )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem tfi
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ral 2328 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  On  (
x  C_  A  ->  x  e.  A )  <->  A. x
( x  e.  On  ->  ( x  C_  A  ->  x  e.  A ) ) )
2 imdi 243 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  On  ->  ( x  C_  A  ->  x  e.  A ) )  <-> 
( ( x  e.  On  ->  x  C_  A
)  ->  ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) ) )
32albii 1375 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( x  e.  On  ->  ( x  C_  A  ->  x  e.  A ) )  <->  A. x
( ( x  e.  On  ->  x  C_  A
)  ->  ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) ) )
41, 3bitri 177 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  On  (
x  C_  A  ->  x  e.  A )  <->  A. x
( ( x  e.  On  ->  x  C_  A
)  ->  ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) ) )
5 dfss2 2962 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  A  <->  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  A ) )
65imbi2i 219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  On  ->  x 
C_  A )  <->  ( x  e.  On  ->  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  A ) ) )
7 19.21v 1769 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y ( x  e.  On  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  A ) )  <->  ( x  e.  On  ->  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  A ) ) )
86, 7bitr4i 180 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  On  ->  x 
C_  A )  <->  A. y
( x  e.  On  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  A ) ) )
98imbi1i 231 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  On  ->  x  C_  A )  ->  ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) )  <->  ( A. y
( x  e.  On  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  A ) )  ->  ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) ) )
109albii 1375 . . . . . 6  |-  ( A. x ( ( x  e.  On  ->  x  C_  A )  ->  (
x  e.  On  ->  x  e.  A ) )  <->  A. x ( A. y
( x  e.  On  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  A ) )  ->  ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) ) )
114, 10bitri 177 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  On  (
x  C_  A  ->  x  e.  A )  <->  A. x
( A. y ( x  e.  On  ->  ( y  e.  x  -> 
y  e.  A ) )  ->  ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) ) )
12 simpl 106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  On )  ->  y  e.  x )
13 tron 4147 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Tr  On
14 dftr2 3884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Tr  On  <->  A. y A. x
( ( y  e.  x  /\  x  e.  On )  ->  y  e.  On ) )
1513, 14mpbi 137 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. y A. x ( ( y  e.  x  /\  x  e.  On )  ->  y  e.  On )
1615spi 1445 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. x
( ( y  e.  x  /\  x  e.  On )  ->  y  e.  On )
1716spi 1445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  On )  ->  y  e.  On )
1812, 17jca 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  On )  ->  ( y  e.  x  /\  y  e.  On ) )
1918imim1i 58 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  y  e.  On )  ->  y  e.  A
)  ->  ( (
y  e.  x  /\  x  e.  On )  ->  y  e.  A ) )
20 impexp 254 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  y  e.  On )  ->  y  e.  A
)  <->  ( y  e.  x  ->  ( y  e.  On  ->  y  e.  A ) ) )
21 impexp 254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  x  e.  On )  ->  y  e.  A
)  <->  ( y  e.  x  ->  ( x  e.  On  ->  y  e.  A ) ) )
22 bi2.04 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  x  -> 
( x  e.  On  ->  y  e.  A ) )  <->  ( x  e.  On  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  A ) ) )
2321, 22bitri 177 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  x  e.  On )  ->  y  e.  A
)  <->  ( x  e.  On  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  A ) ) )
2419, 20, 233imtr3i 193 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  x  -> 
( y  e.  On  ->  y  e.  A ) )  ->  ( x  e.  On  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  A ) ) )
2524alimi 1360 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( y  e.  x  ->  ( y  e.  On  ->  y  e.  A ) )  ->  A. y ( x  e.  On  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  A ) ) )
2625imim1i 58 . . . . . 6  |-  ( ( A. y ( x  e.  On  ->  (
y  e.  x  -> 
y  e.  A ) )  ->  ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) )  -> 
( A. y ( y  e.  x  -> 
( y  e.  On  ->  y  e.  A ) )  ->  ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) ) )
2726alimi 1360 . . . . 5  |-  ( A. x ( A. y
( x  e.  On  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  A ) )  ->  ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) )  ->  A. x ( A. y
( y  e.  x  ->  ( y  e.  On  ->  y  e.  A ) )  ->  ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) ) )
2811, 27sylbi 118 . . . 4  |-  ( A. x  e.  On  (
x  C_  A  ->  x  e.  A )  ->  A. x ( A. y
( y  e.  x  ->  ( y  e.  On  ->  y  e.  A ) )  ->  ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) ) )
2928adantl 266 . . 3  |-  ( ( A  C_  On  /\  A. x  e.  On  (
x  C_  A  ->  x  e.  A ) )  ->  A. x ( A. y ( y  e.  x  ->  ( y  e.  On  ->  y  e.  A ) )  -> 
( x  e.  On  ->  x  e.  A ) ) )
30 sbim 1843 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ y  /  x ]
( x  e.  On  ->  x  e.  A )  <-> 
( [ y  /  x ] x  e.  On  ->  [ y  /  x ] x  e.  A
) )
31 clelsb3 2158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ y  /  x ]
x  e.  On  <->  y  e.  On )
32 clelsb3 2158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ y  /  x ]
x  e.  A  <->  y  e.  A )
3331, 32imbi12i 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( [ y  /  x ] x  e.  On  ->  [ y  /  x ] x  e.  A
)  <->  ( y  e.  On  ->  y  e.  A ) )
3430, 33bitri 177 . . . . . . . . 9  |-  ( [ y  /  x ]
( x  e.  On  ->  x  e.  A )  <-> 
( y  e.  On  ->  y  e.  A ) )
3534ralbii 2347 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  x  [
y  /  x ]
( x  e.  On  ->  x  e.  A )  <->  A. y  e.  x  ( y  e.  On  ->  y  e.  A ) )
36 df-ral 2328 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  x  (
y  e.  On  ->  y  e.  A )  <->  A. y
( y  e.  x  ->  ( y  e.  On  ->  y  e.  A ) ) )
3735, 36bitri 177 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  x  [
y  /  x ]
( x  e.  On  ->  x  e.  A )  <->  A. y ( y  e.  x  ->  ( y  e.  On  ->  y  e.  A ) ) )
3837imbi1i 231 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  On  ->  x  e.  A )  ->  (
x  e.  On  ->  x  e.  A ) )  <-> 
( A. y ( y  e.  x  -> 
( y  e.  On  ->  y  e.  A ) )  ->  ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) ) )
3938albii 1375 . . . . 5  |-  ( A. x ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  On  ->  x  e.  A )  ->  (
x  e.  On  ->  x  e.  A ) )  <->  A. x ( A. y
( y  e.  x  ->  ( y  e.  On  ->  y  e.  A ) )  ->  ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) ) )
40 ax-setind 4290 . . . . 5  |-  ( A. x ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] ( x  e.  On  ->  x  e.  A )  ->  (
x  e.  On  ->  x  e.  A ) )  ->  A. x ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) )
4139, 40sylbir 129 . . . 4  |-  ( A. x ( A. y
( y  e.  x  ->  ( y  e.  On  ->  y  e.  A ) )  ->  ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) )  ->  A. x ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) )
42 dfss2 2962 . . . 4  |-  ( On  C_  A  <->  A. x ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) )
4341, 42sylibr 141 . . 3  |-  ( A. x ( A. y
( y  e.  x  ->  ( y  e.  On  ->  y  e.  A ) )  ->  ( x  e.  On  ->  x  e.  A ) )  ->  On  C_  A )
4429, 43syl 14 . 2  |-  ( ( A  C_  On  /\  A. x  e.  On  (
x  C_  A  ->  x  e.  A ) )  ->  On  C_  A
)
45 eqss 2988 . . 3  |-  ( A  =  On  <->  ( A  C_  On  /\  On  C_  A ) )
4645biimpri 128 . 2  |-  ( ( A  C_  On  /\  On  C_  A )  ->  A  =  On )
4744, 46syldan 270 1  |-  ( ( A  C_  On  /\  A. x  e.  On  (
x  C_  A  ->  x  e.  A ) )  ->  A  =  On )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101   A.wal 1257    = wceq 1259    e. wcel 1409   [wsb 1661   A.wral 2323    C_ wss 2945   Tr wtr 3882   Oncon0 4128
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-setind 4290
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-in 2952  df-ss 2959  df-uni 3609  df-tr 3883  df-iord 4131  df-on 4133
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