Theorem tfr1onlembfn 6013

Description: Lemma for tfr1on 6019. The union of B is a function defined on x. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfr1on.f	|- F = recs ( G )
tfr1on.g	|- ( ph -> Fun G )
tfr1on.x	|- ( ph -> Ord X )
tfr1on.ex	|- ( ( ph /\ x e. X /\ f Fn x ) -> ( G ` f ) e. _V )
tfr1onlemsucfn.1	|- A = { f | E. x e. X ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
tfr1onlembacc.3	|- B = { h | E. z e. D E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) }
tfr1onlembacc.u	|- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
tfr1onlembacc.4	|- ( ph -> D e. X )
tfr1onlembacc.5	|- ( ph -> A. z e. D E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
tfr1onlembfn	|- ( ph -> U. B Fn D )

Distinct variable groups:   A, f, g, h, x, z   D, f, g, x   f, G, x, y   f, X, x   ph, f, g, h, x, z   y, g, z   B, g, h, z, w   D, h, z   h, G, z, w, f, y, x   g, X, z

Allowed substitution hints:   ph( y, w)   A( y, w)   B( x, y, f)   D( y, w)   F( x, y, z, w, f, g, h)   G( g)   X( y, w, h)

Proof of Theorem tfr1onlembfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfr1on.f	. . . . . 6 |- F = recs ( G )
2		tfr1on.g	. . . . . 6 |- ( ph -> Fun G )
3		tfr1on.x	. . . . . 6 |- ( ph -> Ord X )
4		tfr1on.ex	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X /\ f Fn x ) -> ( G ` f ) e. _V )
5		tfr1onlemsucfn.1	. . . . . 6 |- A = { f | E. x e. X ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
6		tfr1onlembacc.3	. . . . . 6 |- B = { h | E. z e. D E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) }
7		tfr1onlembacc.u	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
8		tfr1onlembacc.4	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. X )
9		tfr1onlembacc.5	. . . . . 6 |- ( ph -> A. z e. D E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( G ` ( g |` w ) ) ) )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	tfr1onlembacc 6011	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ A )
11	10	unissd 3645	. . . 4 |- ( ph -> U. B C_ U. A )
12	5, 3	tfr1onlemssrecs 6008	. . . 4 |- ( ph -> U. A C_ recs ( G ) )
13	11, 12	sstrd 3018	. . 3 |- ( ph -> U. B C_ recs ( G ) )
14		tfrfun 5989	. . 3 |- Fun recs ( G )
15		funss 4970	. . 3 |- ( U. B C_ recs ( G ) -> ( Fun recs ( G ) -> Fun U. B ) )
16	13, 14, 15	mpisyl 1376	. 2 |- ( ph -> Fun U. B )
17		simpr3 947	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) )
18		simpl 107	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ph )
19	3	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> Ord X )
20		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> z e. D )
21	8	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> D e. X )
22	20, 21	jca 300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( z e. D /\ D e. X ) )
23		ordtr1 4171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Ord X -> ( ( z e. D /\ D e. X ) -> z e. X ) )
24	19, 22, 23	sylc 61	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> z e. X )
25	18, 24	jca 300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( ph /\ z e. X ) )
26	2	ad2antrr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> Fun G )
27	3	ad2antrr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> Ord X )
28	4	3adant1r 1163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ x e. X /\ f Fn x ) -> ( G ` f ) e. _V )
29	28	3adant1r 1163	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) /\ x e. X /\ f Fn x ) -> ( G ` f ) e. _V )
30		simplr 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> z e. X )
31		simpr1 945	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> g Fn z )
32		simpr2 946	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> g e. A )
33	1, 26, 27, 29, 5, 30, 31, 32	tfr1onlemsucfn 6009	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) Fn suc z )
34	25, 33	sylan 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) Fn suc z )
35		dffn2 5098	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) Fn suc z <-> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : suc z --> _V )
36	34, 35	sylib 120	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : suc z --> _V )
37		fssxp 5109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : suc z --> _V -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) C_ ( suc z X. _V ) )
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) C_ ( suc z X. _V ) )
39		ordelon 4166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Ord X /\ D e. X ) -> D e. On )
40	3, 8, 39	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> D e. On )
41		eloni 4158	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( D e. On -> Ord D )
42	40, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Ord D )
43	42	ad2antrr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> Ord D )
44		simplr 497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> z e. D )
45		ordsucss 4276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Ord D -> ( z e. D -> suc z C_ D ) )
46	43, 44, 45	sylc 61	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> suc z C_ D )
47		xpss1 4496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( suc z C_ D -> ( suc z X. _V ) C_ ( D X. _V ) )
48	46, 47	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( suc z X. _V ) C_ ( D X. _V ) )
49	38, 48	sstrd 3018	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) C_ ( D X. _V ) )
50		vex 2613	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- g e. _V
51		vex 2613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- z e. _V
52	18	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ph )
53	24	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> z e. X )
54		simpr1 945	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> g Fn z )
55		fneq2 5039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = z -> ( f Fn x <-> f Fn z ) )
56	55	imbi1d 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = z -> ( ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) <-> ( f Fn z -> ( G ` f ) e. _V ) ) )
57	56	albidv 1747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = z -> ( A. f ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) <-> A. f ( f Fn z -> ( G ` f ) e. _V ) ) )
58	4	3expia 1141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) )
59	58	alrimiv 1797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. f ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) )
60	59	ralrimiva 2439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> A. x e. X A. f ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) )
61	60	3ad2ant1 960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. X /\ g Fn z ) -> A. x e. X A. f ( f Fn x -> ( G ` f ) e. _V ) )
62		simp2 940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. X /\ g Fn z ) -> z e. X )
63	57, 61, 62	rspcdva 2715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. X /\ g Fn z ) -> A. f ( f Fn z -> ( G ` f ) e. _V ) )
64		simp3 941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. X /\ g Fn z ) -> g Fn z )
65		fneq1 5038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f = g -> ( f Fn z <-> g Fn z ) )
66		fveq2 5229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f = g -> ( G ` f ) = ( G ` g ) )
67	66	eleq1d 2151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f = g -> ( ( G ` f ) e. _V <-> ( G ` g ) e. _V ) )
68	65, 67	imbi12d 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f = g -> ( ( f Fn z -> ( G ` f ) e. _V ) <-> ( g Fn z -> ( G ` g ) e. _V ) ) )
69	68	spv 1783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. f ( f Fn z -> ( G ` f ) e. _V ) -> ( g Fn z -> ( G ` g ) e. _V ) )
70	63, 64, 69	sylc 61	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. X /\ g Fn z ) -> ( G ` g ) e. _V )
71	52, 53, 54, 70	syl3anc 1170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( G ` g ) e. _V )
72		opexg 4011	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. _V /\ ( G ` g ) e. _V ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
73	51, 71, 72	sylancr 405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
74		snexg 3976	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. z , ( G ` g ) >. e. _V -> { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V )
75	73, 74	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V )
76		unexg 4224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g e. _V /\ { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V )
77	50, 75, 76	sylancr 405	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V )
78		elpwg 3408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. ~P ( D X. _V ) <-> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) C_ ( D X. _V ) ) )
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. ~P ( D X. _V ) <-> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) C_ ( D X. _V ) ) )
80	49, 79	mpbird 165	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. ~P ( D X. _V ) )
81	17, 80	eqeltrd 2159	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. D ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) ) -> h e. ~P ( D X. _V ) )
82	81	ex 113	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) -> h e. ~P ( D X. _V ) ) )
83	82	exlimdv 1742	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. D ) -> ( E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) -> h e. ~P ( D X. _V ) ) )
84	83	rexlimdva 2482	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. z e. D E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) -> h e. ~P ( D X. _V ) ) )
85	84	abssdv 3077	. . . . . . 7 |- ( ph -> { h | E. z e. D E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ) } C_ ~P ( D X. _V ) )
86	6, 85	syl5eqss 3052	. . . . . 6 |- ( ph -> B C_ ~P ( D X. _V ) )
87		sspwuni 3780	. . . . . 6 |- ( B C_ ~P ( D X. _V ) <-> U. B C_ ( D X. _V ) )
88	86, 87	sylib 120	. . . . 5 |- ( ph -> U. B C_ ( D X. _V ) )
89		dmss 4582	. . . . 5 |- ( U. B C_ ( D X. _V ) -> dom U. B C_ dom ( D X. _V ) )
90	88, 89	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> dom U. B C_ dom ( D X. _V ) )
91		dmxpss 4803	. . . 4 |- dom ( D X. _V ) C_ D
92	90, 91	syl6ss 3020	. . 3 |- ( ph -> dom U. B C_ D )
93	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	tfr1onlembxssdm 6012	. . 3 |- ( ph -> D C_ dom U. B )
94	92, 93	eqssd 3025	. 2 |- ( ph -> dom U. B = D )
95		df-fn 4955	. 2 |- ( U. B Fn D <-> ( Fun U. B /\ dom U. B = D ) )
96	16, 94, 95	sylanbrc 408	1 |- ( ph -> U. B Fn D )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 920   A.wal 1283   = wceq 1285   E.wex 1422   e. wcel 1434   {cab 2069   A.wral 2353   E.wrex 2354   _Vcvv 2610   u. cun 2980   C_ wss 2982   ~Pcpw 3400   {csn 3416   <.cop 3419   U.cuni 3621   Ord word 4145   Oncon0 4146   suc csuc 4148   X. cxp 4389   dom cdm 4391   |` cres 4393   Fun wfun 4946   Fn wfn 4947   -->wf 4948   ` cfv 4952  recscrecs 5973

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-fv 4960  df-recs 5974

This theorem is referenced by:  tfr1onlembex  6014  tfr1onlemubacc  6015  tfr1onlemex  6016