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Theorem tfr1onlemsucaccv 6010
Description: Lemma for tfr1on 6019. We can extend an acceptable function by one element to produce an acceptable function. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
tfr1on.f  |-  F  = recs ( G )
tfr1on.g  |-  ( ph  ->  Fun  G )
tfr1on.x  |-  ( ph  ->  Ord  X )
tfr1on.ex  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f  Fn  x
)  ->  ( G `  f )  e.  _V )
tfr1onlemsucfn.1  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
tfr1onlemsucaccv.yx  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
tfr1onlemsucaccv.zy  |-  ( ph  ->  z  e.  Y )
tfr1onlemsucaccv.u  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
tfr1onlemsucaccv.gfn  |-  ( ph  ->  g  Fn  z )
tfr1onlemsucaccv.gacc  |-  ( ph  ->  g  e.  A )
Assertion
Ref Expression
tfr1onlemsucaccv  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  A
)
Distinct variable groups:    f, G, x, y    f, X, x   
f, g, x, y    ph, f, x    z, f, x, y
Allowed substitution hints:    ph( y, z, g)    A( x, y, z, f, g)    F( x, y, z, f, g)    G( z, g)    X( y, z, g)    Y( x, y, z, f, g)

Proof of Theorem tfr1onlemsucaccv
Dummy variables  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suceq 4185 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  suc  x  =  suc  z )
21eleq1d 2151 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( suc  x  e.  X  <->  suc  z  e.  X ) )
3 tfr1onlemsucaccv.u . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
43ralrimiva 2439 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  U. X  suc  x  e.  X
)
5 tfr1onlemsucaccv.zy . . . . 5  |-  ( ph  ->  z  e.  Y )
6 tfr1onlemsucaccv.yx . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
7 elunii 3626 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  Y  /\  Y  e.  X )  ->  z  e.  U. X
)
85, 6, 7syl2anc 403 . . . 4  |-  ( ph  ->  z  e.  U. X
)
92, 4, 8rspcdva 2715 . . 3  |-  ( ph  ->  suc  z  e.  X
)
10 tfr1on.f . . . 4  |-  F  = recs ( G )
11 tfr1on.g . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  G )
12 tfr1on.x . . . 4  |-  ( ph  ->  Ord  X )
13 tfr1on.ex . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f  Fn  x
)  ->  ( G `  f )  e.  _V )
14 tfr1onlemsucfn.1 . . . 4  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
155, 6jca 300 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Y  /\  Y  e.  X
) )
16 ordtr1 4171 . . . . 5  |-  ( Ord 
X  ->  ( (
z  e.  Y  /\  Y  e.  X )  ->  z  e.  X ) )
1712, 15, 16sylc 61 . . . 4  |-  ( ph  ->  z  e.  X )
18 tfr1onlemsucaccv.gfn . . . 4  |-  ( ph  ->  g  Fn  z )
19 tfr1onlemsucaccv.gacc . . . 4  |-  ( ph  ->  g  e.  A )
2010, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19tfr1onlemsucfn 6009 . . 3  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  Fn  suc  z )
21 vex 2613 . . . . . 6  |-  u  e. 
_V
2221elsuc 4189 . . . . 5  |-  ( u  e.  suc  z  <->  ( u  e.  z  \/  u  =  z ) )
23 vex 2613 . . . . . . . . . . 11  |-  g  e. 
_V
2414tfr1onlem3ag 6006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  _V  ->  (
g  e.  A  <->  E. v  e.  X  ( g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) ) )
2523, 24ax-mp 7 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  A  <->  E. v  e.  X  ( g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
2619, 25sylib 120 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E. v  e.  X  ( g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) ) )
27 simprrr 507 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  X  /\  (
g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  ->  A. u  e.  v  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) )
28 simprrl 506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  X  /\  (
g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  ->  g  Fn  v )
2918adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  X  /\  (
g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  ->  g  Fn  z )
30 fndmu 5051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  Fn  v  /\  g  Fn  z )  ->  v  =  z )
3128, 29, 30syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  X  /\  (
g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  ->  v  =  z )
3231raleqdv 2560 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  X  /\  (
g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  ->  ( A. u  e.  v  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) )  <->  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) ) )
3327, 32mpbid 145 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  X  /\  (
g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  ->  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u ) ) )
3426, 33rexlimddv 2486 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. u  e.  z  ( g `  u
)  =  ( G `
 ( g  |`  u ) ) )
3534r19.21bi 2454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  (
g `  u )  =  ( G `  ( g  |`  u
) ) )
36 ordelon 4166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  X  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  On )
3712, 17, 36syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  z  e.  On )
38 onelon 4167 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  On  /\  u  e.  z )  ->  u  e.  On )
3937, 38sylan 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  u  e.  On )
40 eloni 4158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  On  ->  Ord  u )
41 ordirr 4313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord  u  ->  -.  u  e.  u )
4239, 40, 413syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  -.  u  e.  u )
43 elequ2 1643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  u  ->  (
u  e.  z  <->  u  e.  u ) )
4443biimpcd 157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  z  ->  (
z  =  u  ->  u  e.  u )
)
4544adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  (
z  =  u  ->  u  e.  u )
)
4642, 45mtod 622 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  -.  z  =  u )
4746neqned 2256 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  z  =/=  u )
48 fvunsng 5409 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  _V  /\  z  =/=  u )  -> 
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) `  u
)  =  ( g `
 u ) )
4921, 47, 48sylancr 405 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) `  u
)  =  ( g `
 u ) )
50 eloni 4158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  On  ->  Ord  z )
5137, 50syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Ord  z )
52 ordelss 4162 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  z  /\  u  e.  z )  ->  u  C_  z )
5351, 52sylan 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  u  C_  z )
54 resabs1 4688 . . . . . . . . . 10  |-  ( u 
C_  z  ->  (
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  |`  z
)  |`  u )  =  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  |`  u
) )
5553, 54syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  (
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  |`  z
)  |`  u )  =  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  |`  u
) )
56 ordirr 4313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord  z  ->  -.  z  e.  z )
5751, 56syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  z )
58 fsnunres 5416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  Fn  z  /\  -.  z  e.  z
)  ->  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  z )  =  g )
5918, 57, 58syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  |`  z
)  =  g )
6059reseq1d 4659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  z )  |`  u
)  =  ( g  |`  u ) )
6160adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  (
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  |`  z
)  |`  u )  =  ( g  |`  u
) )
6255, 61eqtr3d 2117 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  u
)  =  ( g  |`  u ) )
6362fveq2d 5233 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  ( G `  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  u ) )  =  ( G `  (
g  |`  u ) ) )
6435, 49, 633eqtr4d 2125 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) `  u
)  =  ( G `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  u ) ) )
65 fneq2 5039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
f  Fn  x  <->  f  Fn  z ) )
6665imbi1d 229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
( f  Fn  x  ->  ( G `  f
)  e.  _V )  <->  ( f  Fn  z  -> 
( G `  f
)  e.  _V )
) )
6766albidv 1747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( A. f ( f  Fn  x  ->  ( G `  f )  e.  _V ) 
<-> 
A. f ( f  Fn  z  ->  ( G `  f )  e.  _V ) ) )
68133expia 1141 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
f  Fn  x  -> 
( G `  f
)  e.  _V )
)
6968alrimiv 1797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. f
( f  Fn  x  ->  ( G `  f
)  e.  _V )
)
7069ralrimiva 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. f ( f  Fn  x  ->  ( G `  f )  e.  _V ) )
7167, 70, 17rspcdva 2715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. f ( f  Fn  z  ->  ( G `  f )  e.  _V ) )
72 fneq1 5038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
f  Fn  z  <->  g  Fn  z ) )
73 fveq2 5229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  ( G `  f )  =  ( G `  g ) )
7473eleq1d 2151 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
( G `  f
)  e.  _V  <->  ( G `  g )  e.  _V ) )
7572, 74imbi12d 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  (
( f  Fn  z  ->  ( G `  f
)  e.  _V )  <->  ( g  Fn  z  -> 
( G `  g
)  e.  _V )
) )
7675spv 1783 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. f ( f  Fn  z  ->  ( G `  f )  e.  _V )  ->  ( g  Fn  z  ->  ( G `  g )  e.  _V ) )
7771, 18, 76sylc 61 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  g
)  e.  _V )
78 fndm 5049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  Fn  z  ->  dom  g  =  z )
7918, 78syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  g  =  z )
8057, 79neleqtrrd 2181 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  dom  g )
81 fsnunfv 5415 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  Y  /\  ( G `  g )  e.  _V  /\  -.  z  e.  dom  g )  ->  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 z )  =  ( G `  g
) )
825, 77, 80, 81syl3anc 1170 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) `  z
)  =  ( G `
 g ) )
8382adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  =  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) `  z
)  =  ( G `
 g ) )
84 simpr 108 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  =  z )  ->  u  =  z )
8584fveq2d 5233 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  =  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) `  u
)  =  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 z ) )
86 reseq2 4655 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  z  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  u
)  =  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  z ) )
8786, 59sylan9eqr 2137 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  =  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  u
)  =  g )
8887fveq2d 5233 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  =  z )  ->  ( G `  ( (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  u ) )  =  ( G `  g
) )
8983, 85, 883eqtr4d 2125 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  =  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) `  u
)  =  ( G `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  u ) ) )
9064, 89jaodan 744 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  z  \/  u  =  z ) )  ->  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 u )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  u
) ) )
9122, 90sylan2b 281 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  suc  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) `  u
)  =  ( G `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  u ) ) )
9291ralrimiva 2439 . . 3  |-  ( ph  ->  A. u  e.  suc  z ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 u )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  u
) ) )
93 fneq2 5039 . . . . 5  |-  ( w  =  suc  z  -> 
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  Fn  w  <->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  Fn  suc  z ) )
94 raleq 2554 . . . . 5  |-  ( w  =  suc  z  -> 
( A. u  e.  w  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 u )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  u
) )  <->  A. u  e.  suc  z ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 u )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  u
) ) ) )
9593, 94anbi12d 457 . . . 4  |-  ( w  =  suc  z  -> 
( ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  Fn  w  /\  A. u  e.  w  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) `  u
)  =  ( G `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  u ) ) )  <-> 
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  Fn  suc  z  /\  A. u  e. 
suc  z ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 u )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  u
) ) ) ) )
9695rspcev 2710 . . 3  |-  ( ( suc  z  e.  X  /\  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  Fn  suc  z  /\  A. u  e. 
suc  z ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) `
 u )  =  ( G `  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  |`  u
) ) ) )  ->  E. w  e.  X  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) `  u
)  =  ( G `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  u ) ) ) )
979, 20, 92, 96syl12anc 1168 . 2  |-  ( ph  ->  E. w  e.  X  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) `  u
)  =  ( G `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  u ) ) ) )
98 vex 2613 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
99 opexg 4011 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( G `  g )  e.  _V )  ->  <. z ,  ( G `
 g ) >.  e.  _V )
10098, 77, 99sylancr 405 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. z ,  ( G `
 g ) >.  e.  _V )
101 snexg 3976 . . . . 5  |-  ( <.
z ,  ( G `
 g ) >.  e.  _V  ->  { <. z ,  ( G `  g ) >. }  e.  _V )
102100, 101syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. z ,  ( G `  g )
>. }  e.  _V )
103 unexg 4224 . . . 4  |-  ( ( g  e.  _V  /\  {
<. z ,  ( G `
 g ) >. }  e.  _V )  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  _V )
10423, 102, 103sylancr 405 . . 3  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  _V )
10514tfr1onlem3ag 6006 . . 3  |-  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  e.  _V  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  A  <->  E. w  e.  X  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) `  u
)  =  ( G `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  u ) ) ) ) )
106104, 105syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  e.  A  <->  E. w  e.  X  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) `  u
)  =  ( G `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  |`  u ) ) ) ) )
10797, 106mpbird 165 1  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662    /\ w3a 920   A.wal 1283    = wceq 1285    e. wcel 1434   {cab 2069    =/= wne 2249   A.wral 2353   E.wrex 2354   _Vcvv 2610    u. cun 2980    C_ wss 2982   {csn 3416   <.cop 3419   U.cuni 3621   Ord word 4145   Oncon0 4146   suc csuc 4148   dom cdm 4391    |` cres 4393   Fun wfun 4946    Fn wfn 4947   ` cfv 4952  recscrecs 5973
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-tr 3896  df-id 4076  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-res 4403  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-fv 4960
This theorem is referenced by:  tfr1onlembacc  6011  tfr1onlemres  6018
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