Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tfrcllemaccex Unicode version

Theorem tfrcllemaccex 6030
 Description: We can define an acceptable function on any element of . As with many of the transfinite recursion theorems, we have hypotheses that state that is a function and that it is defined up to . (Contributed by Jim Kingdon, 26-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrcl.f recs
tfrcl.g
tfrcl.x
tfrcl.ex
tfrcllemsucfn.1
tfrcllemaccex.u
Assertion
Ref Expression
tfrcllemaccex
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,,   ,,,   ,,,,   ,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,,)   (,,,,)   (,)

Proof of Theorem tfrcllemaccex
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tfrcl.x . . 3
2 ordelon 4166 . . 3
31, 2sylan 277 . 2
4 eleq1 2145 . . . . 5
54anbi2d 452 . . . 4
6 feq2 5082 . . . . . 6
7 raleq 2554 . . . . . 6
86, 7anbi12d 457 . . . . 5
98exbidv 1748 . . . 4
105, 9imbi12d 232 . . 3
11 eleq1 2145 . . . . 5
1211anbi2d 452 . . . 4
13 feq2 5082 . . . . . 6
14 raleq 2554 . . . . . 6
1513, 14anbi12d 457 . . . . 5
1615exbidv 1748 . . . 4
1712, 16imbi12d 232 . . 3
18 tfrcl.f . . . . . . . . 9 recs
19 tfrcl.g . . . . . . . . . 10
2019ad3antrrr 476 . . . . . . . . 9
211ad3antrrr 476 . . . . . . . . 9
22 tfrcl.ex . . . . . . . . . . . . . . . . 17
23223expia 1141 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2423alrimiv 1797 . . . . . . . . . . . . . . 15
25 feq1 5081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
26 fveq2 5229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2726eleq1d 2151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2825, 27imbi12d 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2928cbvalv 1837 . . . . . . . . . . . . . . 15
3024, 29sylib 120 . . . . . . . . . . . . . 14
313019.21bi 1491 . . . . . . . . . . . . 13
32313impia 1136 . . . . . . . . . . . 12
33323adant1r 1163 . . . . . . . . . . 11
34333adant1r 1163 . . . . . . . . . 10
35343adant1r 1163 . . . . . . . . 9
36 tfrcllemsucfn.1 . . . . . . . . . 10
37 fveq1 5228 . . . . . . . . . . . . . . 15
38 reseq1 4654 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3938fveq2d 5233 . . . . . . . . . . . . . . 15
4037, 39eqeq12d 2097 . . . . . . . . . . . . . 14
4140ralbidv 2373 . . . . . . . . . . . . 13
4225, 41anbi12d 457 . . . . . . . . . . . 12
4342rexbidv 2374 . . . . . . . . . . 11
4443cbvabv 2206 . . . . . . . . . 10
4536, 44eqtri 2103 . . . . . . . . 9
46 feq1 5081 . . . . . . . . . . . . . . 15
47 eleq1 2145 . . . . . . . . . . . . . . 15
48 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
49 fveq2 5229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5049opeq2d 3597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5150sneqd 3429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5248, 51uneq12d 3137 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5352eqeq2d 2094 . . . . . . . . . . . . . . 15
5446, 47, 533anbi123d 1244 . . . . . . . . . . . . . 14
5554cbvexv 1838 . . . . . . . . . . . . 13
5655rexbii 2378 . . . . . . . . . . . 12
57 feq2 5082 . . . . . . . . . . . . . . 15
58 opeq1 3590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5958sneqd 3429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6059uneq2d 3136 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6160eqeq2d 2094 . . . . . . . . . . . . . . 15
6257, 613anbi13d 1246 . . . . . . . . . . . . . 14
6362exbidv 1748 . . . . . . . . . . . . 13
6463cbvrexv 2583 . . . . . . . . . . . 12
6556, 64bitri 182 . . . . . . . . . . 11
6665abbii 2198 . . . . . . . . . 10
67 eqeq1 2089 . . . . . . . . . . . . . 14
68673anbi3d 1250 . . . . . . . . . . . . 13
6968exbidv 1748 . . . . . . . . . . . 12
7069rexbidv 2374 . . . . . . . . . . 11
7170cbvabv 2206 . . . . . . . . . 10
7266, 71eqtri 2103 . . . . . . . . 9
73 tfrcllemaccex.u . . . . . . . . . . . 12
7473adantlr 461 . . . . . . . . . . 11
7574adantlr 461 . . . . . . . . . 10
7675adantlr 461 . . . . . . . . 9
77 simpr 108 . . . . . . . . 9
78 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12
79 simplr 497 . . . . . . . . . . . 12
80 ordtr1 4171 . . . . . . . . . . . . . 14
811, 80syl 14 . . . . . . . . . . . . 13
8281ad4antr 478 . . . . . . . . . . . 12
8378, 79, 82mp2and 424 . . . . . . . . . . 11
84 eleq1 2145 . . . . . . . . . . . . . 14
85 feq2 5082 . . . . . . . . . . . . . . . 16
86 raleq 2554 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8785, 86anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . . 15
8887exbidv 1748 . . . . . . . . . . . . . 14
8984, 88imbi12d 232 . . . . . . . . . . . . 13
90 simpllr 501 . . . . . . . . . . . . 13
9189, 90, 78rspcdva 2715 . . . . . . . . . . . 12
92 feq1 5081 . . . . . . . . . . . . . . 15
93 fveq1 5228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
94 reseq1 4654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9594fveq2d 5233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9693, 95eqeq12d 2097 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9796ralbidv 2373 . . . . . . . . . . . . . . 15
9892, 97anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . 14
9998cbvexv 1838 . . . . . . . . . . . . 13
100 fveq2 5229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
101 reseq2 4655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102101fveq2d 5233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
103100, 102eqeq12d 2097 . . . . . . . . . . . . . . . 16
104103cbvralv 2582 . . . . . . . . . . . . . . 15
105104anbi2i 445 . . . . . . . . . . . . . 14
106105exbii 1537 . . . . . . . . . . . . 13
10799, 106bitri 182 . . . . . . . . . . . 12
10891, 107syl6ib 159 . . . . . . . . . . 11
10983, 108mpd 13 . . . . . . . . . 10
110109ralrimiva 2439 . . . . . . . . 9
11118, 20, 21, 35, 45, 72, 76, 77, 110tfrcllemex 6029 . . . . . . . 8
112 feq1 5081 . . . . . . . . . 10
113 fveq1 5228 . . . . . . . . . . . 12
114 reseq1 4654 . . . . . . . . . . . . 13
115114fveq2d 5233 . . . . . . . . . . . 12
116113, 115eqeq12d 2097 . . . . . . . . . . 11
117116ralbidv 2373 . . . . . . . . . 10
118112, 117anbi12d 457 . . . . . . . . 9
119118cbvexv 1838 . . . . . . . 8
120111, 119sylib 120 . . . . . . 7
121120exp31 356 . . . . . 6
122121expcom 114 . . . . 5
123122a2d 26 . . . 4
124 impexp 259 . . . . . 6
125124ralbii 2377 . . . . 5
126 r19.21v 2443 . . . . 5
127125, 126bitri 182 . . . 4
128 impexp 259 . . . 4
129123, 127, 1283imtr4g 203 . . 3
13010, 17, 129tfis3 4355 . 2
1313, 130mpcom 36 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 102   w3a 920  wal 1283   wceq 1285  wex 1422   wcel 1434  cab 2069  wral 2353  wrex 2354   cun 2980  csn 3416  cop 3419  cuni 3621   word 4145  con0 4146   csuc 4148   cres 4393   wfun 4946  wf 4948  cfv 4952  recscrecs 5973 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-recs 5974 This theorem is referenced by:  tfrcllemres  6031
 Copyright terms: Public domain W3C validator