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Theorem tfrcllembxssdm 6025
Description: Lemma for tfrcl 6033. The union of  B is defined on all elements of  X. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrcl.f  |-  F  = recs ( G )
tfrcl.g  |-  ( ph  ->  Fun  G )
tfrcl.x  |-  ( ph  ->  Ord  X )
tfrcl.ex  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S )
tfrcllemsucfn.1  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
tfrcllembacc.3  |-  B  =  { h  |  E. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) }
tfrcllembacc.u  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U. X )  ->  suc  x  e.  X )
tfrcllembacc.4  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
tfrcllembacc.5  |-  ( ph  ->  A. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  A. w  e.  z  (
g `  w )  =  ( G `  ( g  |`  w
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
tfrcllembxssdm  |-  ( ph  ->  D  C_  dom  U. B
)
Distinct variable groups:    A, f, g, h, x, y, z    D, f, g, x, y   
f, G, x, y    S, f, x, y    f, X, x    ph, f, g, h, x, y, z    B, g, h, z    w, B, g, z    D, h, z    h, G, z   
w, G, y    S, h, z    z, X
Allowed substitution hints:    ph( w)    A( w)    B( x, y, f)    D( w)    S( w, g)    F( x, y, z, w, f, g, h)    G( g)    X( y, w, g, h)

Proof of Theorem tfrcllembxssdm
StepHypRef Expression
1 tfrcllembacc.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  A. w  e.  z  (
g `  w )  =  ( G `  ( g  |`  w
) ) ) )
2 fveq2 5229 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
g `  w )  =  ( g `  y ) )
3 reseq2 4655 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
g  |`  w )  =  ( g  |`  y
) )
43fveq2d 5233 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  ( G `  ( g  |`  w ) )  =  ( G `  (
g  |`  y ) ) )
52, 4eqeq12d 2097 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  (
( g `  w
)  =  ( G `
 ( g  |`  w ) )  <->  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) )
65cbvralv 2582 . . . . . . 7  |-  ( A. w  e.  z  (
g `  w )  =  ( G `  ( g  |`  w
) )  <->  A. y  e.  z  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) )
76anbi2i 445 . . . . . 6  |-  ( ( g : z --> S  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( G `  ( g  |`  w ) ) )  <-> 
( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) )
87exbii 1537 . . . . 5  |-  ( E. g ( g : z --> S  /\  A. w  e.  z  (
g `  w )  =  ( G `  ( g  |`  w
) ) )  <->  E. g
( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) )
98ralbii 2377 . . . 4  |-  ( A. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  A. w  e.  z  (
g `  w )  =  ( G `  ( g  |`  w
) ) )  <->  A. z  e.  D  E. g
( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) )
101, 9sylib 120 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )
11 simp1 939 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  ph )
12 simp2 940 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  z  e.  D
)
13 tfrcllembacc.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  X )
1411, 13syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  D  e.  X
)
15 tfrcl.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Ord  X )
16 ordtr1 4171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord 
X  ->  ( (
z  e.  D  /\  D  e.  X )  ->  z  e.  X ) )
1715, 16syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  D  /\  D  e.  X )  ->  z  e.  X ) )
1817imp 122 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  D  /\  D  e.  X ) )  -> 
z  e.  X )
1911, 12, 14, 18syl12anc 1168 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  z  e.  X
)
20 simp3l 967 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  g : z --> S )
21 feq2 5082 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
f : x --> S  <->  f :
z --> S ) )
2221imbi1d 229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
)  <->  ( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S ) ) )
2322albidv 1747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( A. f ( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S )  <->  A. f
( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
) ) )
24 tfrcl.ex . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  f : x --> S )  ->  ( G `  f )  e.  S )
25243expia 1141 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
f : x --> S  -> 
( G `  f
)  e.  S ) )
2625alrimiv 1797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. f
( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
) )
2726ralrimiva 2439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. f ( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S ) )
2827adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  A. x  e.  X  A. f
( f : x --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
) )
29 simpr 108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  X )
3023, 28, 29rspcdva 2715 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  A. f
( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
) )
31 feq1 5081 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
f : z --> S  <-> 
g : z --> S ) )
32 fveq2 5229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  ( G `  f )  =  ( G `  g ) )
3332eleq1d 2151 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
( G `  f
)  e.  S  <->  ( G `  g )  e.  S
) )
3431, 33imbi12d 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  (
( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S
)  <->  ( g : z --> S  ->  ( G `  g )  e.  S ) ) )
3534spv 1783 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. f ( f : z --> S  ->  ( G `  f )  e.  S )  ->  (
g : z --> S  ->  ( G `  g )  e.  S
) )
3630, 35syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
g : z --> S  ->  ( G `  g )  e.  S
) )
3736imp 122 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  X )  /\  g : z --> S )  ->  ( G `  g )  e.  S
)
3811, 19, 20, 37syl21anc 1169 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  ( G `  g )  e.  S
)
39 vex 2613 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
40 opexg 4011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( G `  g )  e.  S )  ->  <. z ,  ( G `
 g ) >.  e.  _V )
4139, 38, 40sylancr 405 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  <. z ,  ( G `  g )
>.  e.  _V )
42 snidg 3441 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
z ,  ( G `
 g ) >.  e.  _V  ->  <. z ,  ( G `  g
) >.  e.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )
43 elun2 3150 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
z ,  ( G `
 g ) >.  e.  { <. z ,  ( G `  g )
>. }  ->  <. z ,  ( G `  g
) >.  e.  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) )
4441, 42, 433syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  <. z ,  ( G `  g )
>.  e.  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) )
45 simp3r 968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  A. y  e.  z  ( g `  y
)  =  ( G `
 ( g  |`  y ) ) )
46 rspe 2417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  X  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) )  ->  E. z  e.  X  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )
4719, 20, 45, 46syl12anc 1168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  E. z  e.  X  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) )
48 feq2 5082 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  (
g : z --> S  <-> 
g : x --> S ) )
49 raleq 2554 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  ( A. y  e.  z 
( g `  y
)  =  ( G `
 ( g  |`  y ) )  <->  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) )
5048, 49anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  (
( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) )  <-> 
( g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) ) )
5150cbvrexv 2583 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  e.  X  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) )  <->  E. x  e.  X  ( g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) )
5247, 51sylib 120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  E. x  e.  X  ( g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) )
53 vex 2613 . . . . . . . . . . . 12  |-  g  e. 
_V
54 feq1 5081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  g  ->  (
f : x --> S  <->  g :
x --> S ) )
55 fveq1 5228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  y )  =  ( g `  y ) )
56 reseq1 4654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  g  ->  (
f  |`  y )  =  ( g  |`  y
) )
5756fveq2d 5233 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  g  ->  ( G `  ( f  |`  y ) )  =  ( G `  (
g  |`  y ) ) )
5855, 57eqeq12d 2097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  g  ->  (
( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) )  <->  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) )
5958ralbidv 2373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  g  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( G `
 ( f  |`  y ) )  <->  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) )
6054, 59anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  (
( f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )  <-> 
( g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) ) )
6160rexbidv 2374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  ( E. x  e.  X  ( f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y ) ) )  <->  E. x  e.  X  ( g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) ) ) )
62 tfrcllemsucfn.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  X  (
f : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( G `  ( f  |`  y
) ) ) }
6353, 61, 62elab2 2749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  A  <->  E. x  e.  X  ( g : x --> S  /\  A. y  e.  x  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )
6452, 63sylibr 132 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  g  e.  A
)
6512, 20, 643jca 1119 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  ( z  e.  D  /\  g : z --> S  /\  g  e.  A ) )
66 snexg 3976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
z ,  ( G `
 g ) >.  e.  _V  ->  { <. z ,  ( G `  g ) >. }  e.  _V )
67 unexg 4224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  e.  _V  /\  {
<. z ,  ( G `
 g ) >. }  e.  _V )  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  e.  _V )
6853, 67mpan 415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( {
<. z ,  ( G `
 g ) >. }  e.  _V  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  e.  _V )
6941, 66, 683syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  e.  _V )
70 isset 2614 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  e.  _V  <->  E. h  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g )
>. } ) )
7169, 70sylib 120 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  E. h  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) )
72 simpr3 947 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) ) )  ->  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) )
73 19.8a 1523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } ) )  ->  E. g
( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) ) )
74 rspe 2417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  D  /\  E. g ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) )  ->  E. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) )
75 tfrcllembacc.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  =  { h  |  E. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) }
7675abeq2i 2193 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  e.  B  <->  E. z  e.  D  E. g
( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) ) )
7774, 76sylibr 132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  D  /\  E. g ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } ) ) )  ->  h  e.  B
)
7873, 77sylan2 280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) ) )  ->  h  e.  B
)
7972, 78eqeltrrd 2160 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  e.  B
)
80793exp2 1157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  D  ->  (
g : z --> S  ->  ( g  e.  A  ->  ( h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  ->  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  e.  B ) ) ) )
81803imp 1133 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  D  /\  g : z --> S  /\  g  e.  A )  ->  ( h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  e.  B
) )
8281exlimdv 1742 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  D  /\  g : z --> S  /\  g  e.  A )  ->  ( E. h  h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  ->  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  e.  B ) )
8365, 71, 82sylc 61 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( G `  g )
>. } )  e.  B
)
84 elunii 3626 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. z ,  ( G `
 g ) >.  e.  ( g  u.  { <. z ,  ( G `
 g ) >. } )  /\  (
g  u.  { <. z ,  ( G `  g ) >. } )  e.  B )  ->  <. z ,  ( G `
 g ) >.  e.  U. B )
8544, 83, 84syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  <. z ,  ( G `  g )
>.  e.  U. B )
86 opeq2 3591 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( G `  g )  ->  <. z ,  w >.  =  <. z ,  ( G `  g ) >. )
8786eleq1d 2151 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( G `  g )  ->  ( <. z ,  w >.  e. 
U. B  <->  <. z ,  ( G `  g
) >.  e.  U. B
) )
8887spcegv 2695 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  g )  e.  S  ->  ( <. z ,  ( G `
 g ) >.  e.  U. B  ->  E. w <. z ,  w >.  e. 
U. B ) )
8939eldm2 4581 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  dom  U. B  <->  E. w <. z ,  w >.  e.  U. B )
9088, 89syl6ibr 160 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  g )  e.  S  ->  ( <. z ,  ( G `
 g ) >.  e.  U. B  ->  z  e.  dom  U. B ) )
9138, 85, 90sylc 61 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D  /\  ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) ) )  ->  z  e.  dom  U. B )
92913expia 1141 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  (
( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) )  ->  z  e.  dom  U. B ) )
9392exlimdv 1742 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  ( E. g ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  (
g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y
) ) )  -> 
z  e.  dom  U. B ) )
9493ralimdva 2434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  D  E. g ( g : z --> S  /\  A. y  e.  z  ( g `  y )  =  ( G `  ( g  |`  y ) ) )  ->  A. z  e.  D  z  e.  dom  U. B
) )
9510, 94mpd 13 . 2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  D  z  e.  dom  U. B
)
96 dfss3 2998 . 2  |-  ( D 
C_  dom  U. B  <->  A. z  e.  D  z  e.  dom  U. B )
9795, 96sylibr 132 1  |-  ( ph  ->  D  C_  dom  U. B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 920   A.wal 1283    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   {cab 2069   A.wral 2353   E.wrex 2354   _Vcvv 2610    u. cun 2980    C_ wss 2982   {csn 3416   <.cop 3419   U.cuni 3621   Ord word 4145   suc csuc 4148   dom cdm 4391    |` cres 4393   Fun wfun 4946   -->wf 4948   ` cfv 4952  recscrecs 5973
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-tr 3896  df-iord 4149  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-fv 4960
This theorem is referenced by:  tfrcllembfn  6026
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