Theorem tfrcllemsucaccv 6023

Description: Lemma for tfrcl 6033. We can extend an acceptable function by one element to produce an acceptable function. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrcl.f	|- F = recs ( G )
tfrcl.g	|- ( ph -> Fun G )
tfrcl.x	|- ( ph -> Ord X )
tfrcl.ex	|- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
tfrcllemsucfn.1	|- A = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
tfrcllemsucaccv.yx	|- ( ph -> Y e. X )
tfrcllemsucaccv.zy	|- ( ph -> z e. Y )
tfrcllemsucaccv.u	|- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
tfrcllemsucaccv.gfn	|- ( ph -> g : z --> S )
tfrcllemsucaccv.gacc	|- ( ph -> g e. A )

Assertion

Ref	Expression
tfrcllemsucaccv	|- ( ph -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. A )

Distinct variable groups:   f, G, x, y   S, f, x   f, X, x   f, g, x, y   ph, f, x, y   z, f, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z, g)   A( x, y, z, f, g)   S( y, z, g)   F( x, y, z, f, g)   G( z, g)   X( y, z, g)   Y( x, y, z, f, g)

Proof of Theorem tfrcllemsucaccv

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 4185	. . . . 5 |- ( x = z -> suc x = suc z )
2	1	eleq1d 2151	. . . 4 |- ( x = z -> ( suc x e. X <-> suc z e. X ) )
3		tfrcllemsucaccv.u	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U. X ) -> suc x e. X )
4	3	ralrimiva 2439	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. U. X suc x e. X )
5		tfrcllemsucaccv.zy	. . . . 5 |- ( ph -> z e. Y )
6		tfrcllemsucaccv.yx	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. X )
7		elunii 3626	. . . . 5 |- ( ( z e. Y /\ Y e. X ) -> z e. U. X )
8	5, 6, 7	syl2anc 403	. . . 4 |- ( ph -> z e. U. X )
9	2, 4, 8	rspcdva 2715	. . 3 |- ( ph -> suc z e. X )
10		tfrcl.f	. . . 4 |- F = recs ( G )
11		tfrcl.g	. . . 4 |- ( ph -> Fun G )
12		tfrcl.x	. . . 4 |- ( ph -> Ord X )
13		tfrcl.ex	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X /\ f : x --> S ) -> ( G ` f ) e. S )
14		tfrcllemsucfn.1	. . . 4 |- A = { f | E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
15	5, 6	jca 300	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. Y /\ Y e. X ) )
16		ordtr1 4171	. . . . 5 |- ( Ord X -> ( ( z e. Y /\ Y e. X ) -> z e. X ) )
17	12, 15, 16	sylc 61	. . . 4 |- ( ph -> z e. X )
18		tfrcllemsucaccv.gfn	. . . 4 |- ( ph -> g : z --> S )
19		tfrcllemsucaccv.gacc	. . . 4 |- ( ph -> g e. A )
20	10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19	tfrcllemsucfn 6022	. . 3 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : suc z --> S )
21		vex 2613	. . . . . 6 |- y e. _V
22	21	elsuc 4189	. . . . 5 |- ( y e. suc z <-> ( y e. z \/ y = z ) )
23		vex 2613	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
24		feq1 5081	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( f : x --> S <-> g : x --> S ) )
25		fveq1 5228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = g -> ( f ` y ) = ( g ` y ) )
26		reseq1 4654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = g -> ( f |` y ) = ( g |` y ) )
27	26	fveq2d 5233	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = g -> ( G ` ( f |` y ) ) = ( G ` ( g |` y ) ) )
28	25, 27	eqeq12d 2097	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = g -> ( ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) <-> ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
29	28	ralbidv 2373	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) <-> A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
30	24, 29	anbi12d 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) <-> ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) )
31	30	rexbidv 2374	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) <-> E. x e. X ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) )
32	23, 31, 14	elab2 2749	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. A <-> E. x e. X ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
33	19, 32	sylib 120	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E. x e. X ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
34		simprrr 507	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) ) -> A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) )
35		simprrl 506	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) ) -> g : x --> S )
36		ffn 5097	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g : x --> S -> g Fn x )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) ) -> g Fn x )
38	18	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) ) -> g : z --> S )
39		ffn 5097	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g : z --> S -> g Fn z )
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) ) -> g Fn z )
41		fndmu 5051	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g Fn x /\ g Fn z ) -> x = z )
42	37, 40, 41	syl2anc 403	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) ) -> x = z )
43	42	raleqdv 2560	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) ) -> ( A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) <-> A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) )
44	34, 43	mpbid 145	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ ( g : x --> S /\ A. y e. x ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) ) ) ) -> A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) )
45	33, 44	rexlimddv 2486	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. y e. z ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) )
46	45	r19.21bi 2454	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> ( g ` y ) = ( G ` ( g |` y ) ) )
47		ordelon 4166	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Ord X /\ z e. X ) -> z e. On )
48	12, 17, 47	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> z e. On )
49		onelon 4167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. On /\ y e. z ) -> y e. On )
50	48, 49	sylan 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> y e. On )
51		eloni 4158	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. On -> Ord y )
52		ordirr 4313	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord y -> -. y e. y )
53	50, 51, 52	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> -. y e. y )
54		elequ2 1643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> ( y e. z <-> y e. y ) )
55	54	biimpcd 157	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. z -> ( z = y -> y e. y ) )
56	55	adantl 271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> ( z = y -> y e. y ) )
57	53, 56	mtod 622	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> -. z = y )
58	57	neqned 2256	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> z =/= y )
59		fvunsng 5409	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. _V /\ z =/= y ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( g ` y ) )
60	21, 58, 59	sylancr 405	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( g ` y ) )
61		eloni 4158	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. On -> Ord z )
62	48, 61	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Ord z )
63		ordelss 4162	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Ord z /\ y e. z ) -> y C_ z )
64	62, 63	sylan 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> y C_ z )
65		resabs1 4688	. . . . . . . . . 10 |- ( y C_ z -> ( ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` z ) |` y ) = ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) )
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> ( ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` z ) |` y ) = ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) )
67	18, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> g Fn z )
68		ordirr 4313	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord z -> -. z e. z )
69	62, 68	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -. z e. z )
70		fsnunres 5416	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g Fn z /\ -. z e. z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` z ) = g )
71	67, 69, 70	syl2anc 403	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` z ) = g )
72	71	reseq1d 4659	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` z ) |` y ) = ( g |` y ) )
73	72	adantr 270	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> ( ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` z ) |` y ) = ( g |` y ) )
74	66, 73	eqtr3d 2117	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) = ( g |` y ) )
75	74	fveq2d 5233	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) = ( G ` ( g |` y ) ) )
76	46, 60, 75	3eqtr4d 2125	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) )
77		feq2 5082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( f : x --> S <-> f : z --> S ) )
78	77	imbi1d 229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) <-> ( f : z --> S -> ( G ` f ) e. S ) ) )
79	78	albidv 1747	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) <-> A. f ( f : z --> S -> ( G ` f ) e. S ) ) )
80	13	3expia 1141	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
81	80	alrimiv 1797	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
82	81	ralrimiva 2439	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. X A. f ( f : x --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
83	79, 82, 17	rspcdva 2715	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. f ( f : z --> S -> ( G ` f ) e. S ) )
84		feq1 5081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( f : z --> S <-> g : z --> S ) )
85		fveq2 5229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( G ` f ) = ( G ` g ) )
86	85	eleq1d 2151	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( G ` f ) e. S <-> ( G ` g ) e. S ) )
87	84, 86	imbi12d 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( ( f : z --> S -> ( G ` f ) e. S ) <-> ( g : z --> S -> ( G ` g ) e. S ) ) )
88	87	spv 1783	. . . . . . . . . 10 |- ( A. f ( f : z --> S -> ( G ` f ) e. S ) -> ( g : z --> S -> ( G ` g ) e. S ) )
89	83, 18, 88	sylc 61	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ` g ) e. S )
90		fndm 5049	. . . . . . . . . . 11 |- ( g Fn z -> dom g = z )
91	67, 90	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom g = z )
92	69, 91	neleqtrrd 2181	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. z e. dom g )
93		fsnunfv 5415	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. Y /\ ( G ` g ) e. S /\ -. z e. dom g ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` z ) = ( G ` g ) )
94	5, 89, 92, 93	syl3anc 1170	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` z ) = ( G ` g ) )
95	94	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y = z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` z ) = ( G ` g ) )
96		simpr 108	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y = z ) -> y = z )
97	96	fveq2d 5233	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y = z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` z ) )
98		reseq2 4655	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) = ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` z ) )
99	98, 71	sylan9eqr 2137	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y = z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) = g )
100	99	fveq2d 5233	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y = z ) -> ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) = ( G ` g ) )
101	95, 97, 100	3eqtr4d 2125	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y = z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) )
102	76, 101	jaodan 744	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. z \/ y = z ) ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) )
103	22, 102	sylan2b 281	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. suc z ) -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) )
104	103	ralrimiva 2439	. . 3 |- ( ph -> A. y e. suc z ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) )
105		feq2 5082	. . . . . 6 |- ( w = suc z -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : w --> S <-> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : suc z --> S ) )
106		raleq 2554	. . . . . 6 |- ( w = suc z -> ( A. y e. w ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) <-> A. y e. suc z ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) )
107	105, 106	anbi12d 457	. . . . 5 |- ( w = suc z -> ( ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : w --> S /\ A. y e. w ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) <-> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : suc z --> S /\ A. y e. suc z ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) ) )
108	107	rspcev 2710	. . . 4 |- ( ( suc z e. X /\ ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : suc z --> S /\ A. y e. suc z ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) ) -> E. w e. X ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : w --> S /\ A. y e. w ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) )
109		feq2 5082	. . . . . 6 |- ( w = x -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : w --> S <-> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : x --> S ) )
110		raleq 2554	. . . . . 6 |- ( w = x -> ( A. y e. w ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) <-> A. y e. x ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) )
111	109, 110	anbi12d 457	. . . . 5 |- ( w = x -> ( ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : w --> S /\ A. y e. w ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) <-> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : x --> S /\ A. y e. x ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) ) )
112	111	cbvrexv 2583	. . . 4 |- ( E. w e. X ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : w --> S /\ A. y e. w ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) <-> E. x e. X ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : x --> S /\ A. y e. x ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) )
113	108, 112	sylib 120	. . 3 |- ( ( suc z e. X /\ ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : suc z --> S /\ A. y e. suc z ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) ) -> E. x e. X ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : x --> S /\ A. y e. x ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) )
114	9, 20, 104, 113	syl12anc 1168	. 2 |- ( ph -> E. x e. X ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : x --> S /\ A. y e. x ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) )
115		vex 2613	. . . . . 6 |- z e. _V
116		opexg 4011	. . . . . 6 |- ( ( z e. _V /\ ( G ` g ) e. S ) -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
117	115, 89, 116	sylancr 405	. . . . 5 |- ( ph -> <. z , ( G ` g ) >. e. _V )
118		snexg 3976	. . . . 5 |- ( <. z , ( G ` g ) >. e. _V -> { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V )
119	117, 118	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V )
120		unexg 4224	. . . 4 |- ( ( g e. _V /\ { <. z , ( G ` g ) >. } e. _V ) -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V )
121	23, 119, 120	sylancr 405	. . 3 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V )
122		feq1 5081	. . . . . 6 |- ( f = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( f : x --> S <-> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : x --> S ) )
123		fveq1 5228	. . . . . . . 8 |- ( f = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( f ` y ) = ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) )
124		reseq1 4654	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( f |` y ) = ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) )
125	124	fveq2d 5233	. . . . . . . 8 |- ( f = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( G ` ( f |` y ) ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) )
126	123, 125	eqeq12d 2097	. . . . . . 7 |- ( f = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) <-> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) )
127	126	ralbidv 2373	. . . . . 6 |- ( f = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) <-> A. y e. x ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) )
128	122, 127	anbi12d 457	. . . . 5 |- ( f = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) <-> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : x --> S /\ A. y e. x ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) ) )
129	128	rexbidv 2374	. . . 4 |- ( f = ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) -> ( E. x e. X ( f : x --> S /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) <-> E. x e. X ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : x --> S /\ A. y e. x ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) ) )
130	129, 14	elab2g 2748	. . 3 |- ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. _V -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. A <-> E. x e. X ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : x --> S /\ A. y e. x ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) ) )
131	121, 130	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. A <-> E. x e. X ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) : x --> S /\ A. y e. x ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) ` y ) = ( G ` ( ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) |` y ) ) ) ) )
132	114, 131	mpbird 165	1 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( G ` g ) >. } ) e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 662   /\ w3a 920   A.wal 1283   = wceq 1285   e. wcel 1434   {cab 2069   =/= wne 2249   A.wral 2353   E.wrex 2354   _Vcvv 2610   u. cun 2980   C_ wss 2982   {csn 3416   <.cop 3419   U.cuni 3621   Ord word 4145   Oncon0 4146   suc csuc 4148   dom cdm 4391   |` cres 4393   Fun wfun 4946   Fn wfn 4947   -->wf 4948   ` cfv 4952  recscrecs 5973

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-tr 3896  df-id 4076  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960

This theorem is referenced by:  tfrcllembacc  6024  tfrcllemres  6031