Theorem tfrex 6265

Description: The transfinite recursion function is set-like if the input is. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrex.1	|- F = recs ( G )
tfrex.2	|- ( ph -> A. x ( Fun G /\ ( G ` x ) e. _V ) )

Assertion

Ref	Expression
tfrex	|- ( ( ph /\ A e. V ) -> ( F ` A ) e. _V )

Distinct variable group:   x, G

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   F( x)   V( x)

Proof of Theorem tfrex

Dummy variables f g u y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrex.1	. . 3 |- F = recs ( G )
2	1	fveq1i 5422	. 2 |- ( F ` A ) = (recs ( G ) ` A )
3		eqid 2139	. . . 4 |- { g | E. z e. On ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) } = { g | E. z e. On ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) }
4	3	tfrlem3 6208	. . 3 |- { g | E. z e. On ( g Fn z /\ A. u e. z ( g ` u ) = ( G ` ( g |` u ) ) ) } = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( G ` ( f |` y ) ) ) }
5		tfrex.2	. . 3 |- ( ph -> A. x ( Fun G /\ ( G ` x ) e. _V ) )
6	4, 5	tfrexlem 6231	. 2 |- ( ( ph /\ A e. V ) -> (recs ( G ) ` A ) e. _V )
7	2, 6	eqeltrid 2226	1 |- ( ( ph /\ A e. V ) -> ( F ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1329   = wceq 1331   e. wcel 1480   {cab 2125   A.wral 2416   E.wrex 2417   _Vcvv 2686   Oncon0 4285   |` cres 4541   Fun wfun 5117   Fn wfn 5118   ` cfv 5123  recscrecs 6201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-recs 6202

This theorem is referenced by:  rdgexggg  6274