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Theorem tfrlem1 5957
Description: A technical lemma for transfinite recursion. Compare Lemma 1 of [TakeutiZaring] p. 47. (Contributed by NM, 23-Mar-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrlem1.1  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
tfrlem1.2  |-  ( ph  ->  ( Fun  F  /\  A  C_  dom  F ) )
tfrlem1.3  |-  ( ph  ->  ( Fun  G  /\  A  C_  dom  G ) )
tfrlem1.4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) ) )
tfrlem1.5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )
Assertion
Ref Expression
tfrlem1  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, G
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem tfrlem1
Dummy variables  u  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3019 . 2  |-  A  C_  A
2 tfrlem1.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 sseq1 3021 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
y  C_  A  <->  A  C_  A
) )
4 raleq 2550 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  ( A. x  e.  y 
( F `  x
)  =  ( G `
 x )  <->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
53, 4imbi12d 232 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
( y  C_  A  ->  A. x  e.  y  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) )  <-> 
( A  C_  A  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) )
65imbi2d 228 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  (
( ph  ->  ( y 
C_  A  ->  A. x  e.  y  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  <->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) ) )
7 sseq1 3021 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
y  C_  A  <->  z  C_  A ) )
8 raleq 2550 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  ( A. x  e.  y 
( F `  x
)  =  ( G `
 x )  <->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
97, 8imbi12d 232 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  C_  A  ->  A. x  e.  y  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) )  <-> 
( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) ) )
109imbi2d 228 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
( ph  ->  ( y 
C_  A  ->  A. x  e.  y  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  <->  ( ph  ->  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) ) ) )
11 r19.21v 2439 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  y  ( ph  ->  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  <->  ( ph  ->  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) )
12 simplll 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  ->  ph )
1312adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ph )
14 tfrlem1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Fun  F  /\  A  C_  dom  F ) )
1513, 14syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( Fun  F  /\  A  C_  dom  F ) )
1615simpld 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  Fun  F )
17 funfn 4961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Fun 
F  <->  F  Fn  dom  F )
1816, 17sylib 120 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  F  Fn  dom  F )
19 simpllr 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  ->  y  e.  On )
20 eloni 4138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
2119, 20syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  ->  Ord  y )
22 ordelss 4142 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Ord  y  /\  w  e.  y )  ->  w  C_  y )
2321, 22sylan 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  w  C_  y )
24 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  y  C_  A )
2523, 24sstrd 3010 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  w  C_  A )
2615simprd 112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  A  C_ 
dom  F )
2725, 26sstrd 3010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  w  C_ 
dom  F )
28 fnssres 5043 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  Fn  dom  F  /\  w  C_  dom  F
)  ->  ( F  |`  w )  Fn  w
)
2918, 27, 28syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( F  |`  w )  Fn  w )
30 tfrlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Fun  G  /\  A  C_  dom  G ) )
3113, 30syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( Fun  G  /\  A  C_  dom  G ) )
3231simpld 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  Fun  G )
33 funfn 4961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Fun 
G  <->  G  Fn  dom  G )
3432, 33sylib 120 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  G  Fn  dom  G )
3531simprd 112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  A  C_ 
dom  G )
3625, 35sstrd 3010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  w  C_ 
dom  G )
37 fnssres 5043 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  Fn  dom  G  /\  w  C_  dom  G
)  ->  ( G  |`  w )  Fn  w
)
3834, 36, 37syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( G  |`  w )  Fn  w )
39 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  u  e.  w )
40 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  w  e.  y )
41 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  ->  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
4241ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
4325adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  w  C_  A )
44 sseq1 3021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  w  ->  (
z  C_  A  <->  w  C_  A
) )
45 raleq 2550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  w  ->  ( A. x  e.  z 
( F `  x
)  =  ( G `
 x )  <->  A. x  e.  w  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
4644, 45imbi12d 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  w  ->  (
( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) )  <-> 
( w  C_  A  ->  A. x  e.  w  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) )
4746rspcv 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  y  ->  ( A. z  e.  y 
( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) )  ->  ( w  C_  A  ->  A. x  e.  w  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) )
4840, 42, 43, 47syl3c 62 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  A. x  e.  w  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
49 fveq2 5209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  u  ->  ( F `  x )  =  ( F `  u ) )
50 fveq2 5209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  u  ->  ( G `  x )  =  ( G `  u ) )
5149, 50eqeq12d 2096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  u  ->  (
( F `  x
)  =  ( G `
 x )  <->  ( F `  u )  =  ( G `  u ) ) )
5251rspcv 2698 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  w  ->  ( A. x  e.  w  ( F `  x )  =  ( G `  x )  ->  ( F `  u )  =  ( G `  u ) ) )
5339, 48, 52sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  ( F `  u )  =  ( G `  u ) )
54 fvres 5230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  w  ->  (
( F  |`  w
) `  u )  =  ( F `  u ) )
5554adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  (
( F  |`  w
) `  u )  =  ( F `  u ) )
56 fvres 5230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  w  ->  (
( G  |`  w
) `  u )  =  ( G `  u ) )
5756adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  (
( G  |`  w
) `  u )  =  ( G `  u ) )
5853, 55, 573eqtr4d 2124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  /\  u  e.  w )  ->  (
( F  |`  w
) `  u )  =  ( ( G  |`  w ) `  u
) )
5929, 38, 58eqfnfvd 5300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( F  |`  w )  =  ( G  |`  w
) )
6059fveq2d 5213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( B `  ( F  |`  w ) )  =  ( B `  ( G  |`  w ) ) )
61 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  ->  y  C_  A )
6261sselda 3000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  w  e.  A )
63 tfrlem1.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) ) )
6413, 63syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) ) )
65 fveq2 5209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )
66 reseq2 4635 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  ( F  |`  x )  =  ( F  |`  w
) )
6766fveq2d 5213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  ( B `  ( F  |`  x ) )  =  ( B `  ( F  |`  w ) ) )
6865, 67eqeq12d 2096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  (
( F `  x
)  =  ( B `
 ( F  |`  x ) )  <->  ( F `  w )  =  ( B `  ( F  |`  w ) ) ) )
6968rspcva 2700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( B `  ( F  |`  x ) ) )  ->  ( F `  w )  =  ( B `  ( F  |`  w ) ) )
7062, 64, 69syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( F `  w )  =  ( B `  ( F  |`  w ) ) )
71 tfrlem1.5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )
7213, 71syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  A. x  e.  A  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )
73 fveq2 5209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  ( G `  x )  =  ( G `  w ) )
74 reseq2 4635 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  ( G  |`  x )  =  ( G  |`  w
) )
7574fveq2d 5213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  ( B `  ( G  |`  x ) )  =  ( B `  ( G  |`  w ) ) )
7673, 75eqeq12d 2096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  (
( G `  x
)  =  ( B `
 ( G  |`  x ) )  <->  ( G `  w )  =  ( B `  ( G  |`  w ) ) ) )
7776rspcva 2700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( G `  x )  =  ( B `  ( G  |`  x ) ) )  ->  ( G `  w )  =  ( B `  ( G  |`  w ) ) )
7862, 72, 77syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( G `  w )  =  ( B `  ( G  |`  w ) ) )
7960, 70, 783eqtr4d 2124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  /\  w  e.  y )  ->  ( F `  w )  =  ( G `  w ) )
8079ralrimiva 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  ->  A. w  e.  y  ( F `  w )  =  ( G `  w ) )
8165, 73eqeq12d 2096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  (
( F `  x
)  =  ( G `
 x )  <->  ( F `  w )  =  ( G `  w ) ) )
8281cbvralv 2578 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  y  ( F `  x )  =  ( G `  x )  <->  A. w  e.  y  ( F `  w )  =  ( G `  w ) )
8380, 82sylibr 132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  On )  /\  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) )  /\  y  C_  A )  ->  A. x  e.  y  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
8483exp31 356 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  On )  ->  ( A. z  e.  y  (
z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )  -> 
( y  C_  A  ->  A. x  e.  y  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) ) )
8584expcom 114 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  On  ->  ( ph  ->  ( A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )  ->  ( y  C_  A  ->  A. x  e.  y  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) ) )
8685a2d 26 . . . . . 6  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ph  ->  A. z  e.  y  ( z  C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  ->  ( ph  ->  ( y  C_  A  ->  A. x  e.  y  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) ) ) )
8711, 86syl5bi 150 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  ( A. z  e.  y 
( ph  ->  ( z 
C_  A  ->  A. x  e.  z  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )  ->  ( ph  ->  ( y  C_  A  ->  A. x  e.  y  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) ) ) )
8810, 87tfis2 4334 . . . 4  |-  ( y  e.  On  ->  ( ph  ->  ( y  C_  A  ->  A. x  e.  y  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) ) ) )
896, 88vtoclga 2665 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) ) )
902, 89mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) ) )
911, 90mpi 15 1  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2349    C_ wss 2974   Ord word 4125   Oncon0 4126   dom cdm 4371    |` cres 4373   Fun wfun 4926    Fn wfn 4927   ` cfv 4932
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-setind 4288
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-res 4383  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-fv 4940
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