Theorem tfrlem1 6198

Description: A technical lemma for transfinite recursion. Compare Lemma 1 of [TakeutiZaring] p. 47. (Contributed by NM, 23-Mar-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrlem1.1	|- ( ph -> A e. On )
tfrlem1.2	|- ( ph -> ( Fun F /\ A C_ dom F ) )
tfrlem1.3	|- ( ph -> ( Fun G /\ A C_ dom G ) )
tfrlem1.4	|- ( ph -> A. x e. A ( F ` x ) = ( B ` ( F |` x ) ) )
tfrlem1.5	|- ( ph -> A. x e. A ( G ` x ) = ( B ` ( G |` x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
tfrlem1	|- ( ph -> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F   x, G

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem tfrlem1

Dummy variables u w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3112	. 2 |- A C_ A
2		tfrlem1.1	. . 3 |- ( ph -> A e. On )
3		sseq1 3115	. . . . . 6 |- ( y = A -> ( y C_ A <-> A C_ A ) )
4		raleq 2624	. . . . . 6 |- ( y = A -> ( A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
5	3, 4	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( y = A -> ( ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) <-> ( A C_ A -> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) )
6	5	imbi2d 229	. . . 4 |- ( y = A -> ( ( ph -> ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( A C_ A -> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) ) )
7		sseq1 3115	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( y C_ A <-> z C_ A ) )
8		raleq 2624	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
9	7, 8	imbi12d 233	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) <-> ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) )
10	9	imbi2d 229	. . . . 5 |- ( y = z -> ( ( ph -> ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) ) )
11		r19.21v 2507	. . . . . 6 |- ( A. z e. y ( ph -> ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) <-> ( ph -> A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) )
12		simplll 522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) -> ph )
13	12	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ph )
14		tfrlem1.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( Fun F /\ A C_ dom F ) )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( Fun F /\ A C_ dom F ) )
16	15	simpld 111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> Fun F )
17		funfn 5148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Fun F <-> F Fn dom F )
18	16, 17	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> F Fn dom F )
19		simpllr 523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) -> y e. On )
20		eloni 4292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. On -> Ord y )
21	19, 20	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) -> Ord y )
22		ordelss 4296	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Ord y /\ w e. y ) -> w C_ y )
23	21, 22	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> w C_ y )
24		simplr 519	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> y C_ A )
25	23, 24	sstrd 3102	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> w C_ A )
26	15	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> A C_ dom F )
27	25, 26	sstrd 3102	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> w C_ dom F )
28		fnssres 5231	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F Fn dom F /\ w C_ dom F ) -> ( F |` w ) Fn w )
29	18, 27, 28	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( F |` w ) Fn w )
30		tfrlem1.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( Fun G /\ A C_ dom G ) )
31	13, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( Fun G /\ A C_ dom G ) )
32	31	simpld 111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> Fun G )
33		funfn 5148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Fun G <-> G Fn dom G )
34	32, 33	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> G Fn dom G )
35	31	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> A C_ dom G )
36	25, 35	sstrd 3102	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> w C_ dom G )
37		fnssres 5231	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G Fn dom G /\ w C_ dom G ) -> ( G |` w ) Fn w )
38	34, 36, 37	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( G |` w ) Fn w )
39		fveq2 5414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = u -> ( F ` x ) = ( F ` u ) )
40		fveq2 5414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = u -> ( G ` x ) = ( G ` u ) )
41	39, 40	eqeq12d 2152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = u -> ( ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> ( F ` u ) = ( G ` u ) ) )
42		simplr 519	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> w e. y )
43		simplr 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) -> A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
44	43	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
45	25	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> w C_ A )
46		sseq1 3115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = w -> ( z C_ A <-> w C_ A ) )
47		raleq 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = w -> ( A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> A. x e. w ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
48	46, 47	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = w -> ( ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) <-> ( w C_ A -> A. x e. w ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) )
49	48	rspcv 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. y -> ( A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) -> ( w C_ A -> A. x e. w ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) )
50	42, 44, 45, 49	syl3c 63	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> A. x e. w ( F ` x ) = ( G ` x ) )
51		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> u e. w )
52	41, 50, 51	rspcdva 2789	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> ( F ` u ) = ( G ` u ) )
53		fvres 5438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. w -> ( ( F |` w ) ` u ) = ( F ` u ) )
54	53	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> ( ( F |` w ) ` u ) = ( F ` u ) )
55		fvres 5438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. w -> ( ( G |` w ) ` u ) = ( G ` u ) )
56	55	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> ( ( G |` w ) ` u ) = ( G ` u ) )
57	52, 54, 56	3eqtr4d 2180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) /\ u e. w ) -> ( ( F |` w ) ` u ) = ( ( G |` w ) ` u ) )
58	29, 38, 57	eqfnfvd 5514	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( F |` w ) = ( G |` w ) )
59	58	fveq2d 5418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( B ` ( F |` w ) ) = ( B ` ( G |` w ) ) )
60		fveq2 5414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( F ` x ) = ( F ` w ) )
61		reseq2 4809	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = w -> ( F |` x ) = ( F |` w ) )
62	61	fveq2d 5418	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( B ` ( F |` x ) ) = ( B ` ( F |` w ) ) )
63	60, 62	eqeq12d 2152	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( ( F ` x ) = ( B ` ( F |` x ) ) <-> ( F ` w ) = ( B ` ( F |` w ) ) ) )
64		tfrlem1.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. A ( F ` x ) = ( B ` ( F |` x ) ) )
65	13, 64	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> A. x e. A ( F ` x ) = ( B ` ( F |` x ) ) )
66		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) -> y C_ A )
67	66	sselda 3092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> w e. A )
68	63, 65, 67	rspcdva 2789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( F ` w ) = ( B ` ( F |` w ) ) )
69		fveq2 5414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( G ` x ) = ( G ` w ) )
70		reseq2 4809	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = w -> ( G |` x ) = ( G |` w ) )
71	70	fveq2d 5418	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( B ` ( G |` x ) ) = ( B ` ( G |` w ) ) )
72	69, 71	eqeq12d 2152	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( ( G ` x ) = ( B ` ( G |` x ) ) <-> ( G ` w ) = ( B ` ( G |` w ) ) ) )
73		tfrlem1.5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. A ( G ` x ) = ( B ` ( G |` x ) ) )
74	13, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> A. x e. A ( G ` x ) = ( B ` ( G |` x ) ) )
75	72, 74, 67	rspcdva 2789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( G ` w ) = ( B ` ( G |` w ) ) )
76	59, 68, 75	3eqtr4d 2180	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) /\ w e. y ) -> ( F ` w ) = ( G ` w ) )
77	76	ralrimiva 2503	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) -> A. w e. y ( F ` w ) = ( G ` w ) )
78	60, 69	eqeq12d 2152	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> ( ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> ( F ` w ) = ( G ` w ) ) )
79	78	cbvralv 2652	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) <-> A. w e. y ( F ` w ) = ( G ` w ) )
80	77, 79	sylibr 133	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. On ) /\ A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) /\ y C_ A ) -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) )
81	80	exp31 361	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. On ) -> ( A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) -> ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) )
82	81	expcom 115	. . . . . . 7 |- ( y e. On -> ( ph -> ( A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) -> ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) ) )
83	82	a2d 26	. . . . . 6 |- ( y e. On -> ( ( ph -> A. z e. y ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) -> ( ph -> ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) ) )
84	11, 83	syl5bi 151	. . . . 5 |- ( y e. On -> ( A. z e. y ( ph -> ( z C_ A -> A. x e. z ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) -> ( ph -> ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) ) )
85	10, 84	tfis2 4494	. . . 4 |- ( y e. On -> ( ph -> ( y C_ A -> A. x e. y ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) )
86	6, 85	vtoclga 2747	. . 3 |- ( A e. On -> ( ph -> ( A C_ A -> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) ) ) )
87	2, 86	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( A C_ A -> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) ) )
88	1, 87	mpi 15	1 |- ( ph -> A. x e. A ( F ` x ) = ( G ` x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2414   C_ wss 3066   Ord word 4279   Oncon0 4280   dom cdm 4534   |` cres 4536   Fun wfun 5112   Fn wfn 5113   ` cfv 5118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-setind 4447

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-res 4546  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-fv 5126

This theorem is referenced by:  tfrlem5  6204