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Theorem tfrlemibxssdm 5972
Description: The union of  B is defined on all ordinals. Lemma for tfrlemi1 5977. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2019.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrlemisucfn.1  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( F `  ( f  |`  y
) ) ) }
tfrlemisucfn.2  |-  ( ph  ->  A. x ( Fun 
F  /\  ( F `  x )  e.  _V ) )
tfrlemi1.3  |-  B  =  { h  |  E. z  e.  x  E. g ( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) ) }
tfrlemi1.4  |-  ( ph  ->  x  e.  On )
tfrlemi1.5  |-  ( ph  ->  A. z  e.  x  E. g ( g  Fn  z  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
tfrlemibxssdm  |-  ( ph  ->  x  C_  dom  U. B
)
Distinct variable groups:    f, g, h, w, x, y, z, A    f, F, g, h, w, x, y, z    ph, w, y    w, B, f, g, h, z    ph, g, h, z
Allowed substitution hints:    ph( x, f)    B( x, y)

Proof of Theorem tfrlemibxssdm
StepHypRef Expression
1 tfrlemi1.5 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  x  E. g ( g  Fn  z  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) ) )
2 tfrlemi1.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  x  e.  On )
3 tfrlemisucfn.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x ( Fun 
F  /\  ( F `  x )  e.  _V ) )
43tfrlem3-2d 5959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Fun  F  /\  ( F `  g )  e.  _V ) )
54simprd 111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  g
)  e.  _V )
653ad2ant1 936 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  On  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) ) )  ->  ( F `  g )  e.  _V )
7 vex 2577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
_V
8 opexg 3992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( F `  g )  e.  _V )  ->  <. z ,  ( F `
 g ) >.  e.  _V )
97, 5, 8sylancr 399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
<. z ,  ( F `
 g ) >.  e.  _V )
10 snidg 3428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
z ,  ( F `
 g ) >.  e.  _V  ->  <. z ,  ( F `  g
) >.  e.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )
11 elun2 3139 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
z ,  ( F `
 g ) >.  e.  { <. z ,  ( F `  g )
>. }  ->  <. z ,  ( F `  g
) >.  e.  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) )
129, 10, 113syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
<. z ,  ( F `
 g ) >.  e.  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) )
13123ad2ant1 936 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  On  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) ) )  ->  <. z ,  ( F `  g )
>.  e.  ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } ) )
14 simp2r 942 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  On  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) ) )  ->  z  e.  x
)
15 simp3l 943 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  On  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) ) )  ->  g  Fn  z
)
16 onelon 4149 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  On  /\  z  e.  x )  ->  z  e.  On )
17 rspe 2387 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  On  /\  ( g  Fn  z  /\  A. w  e.  z  ( g `  w
)  =  ( F `
 ( g  |`  w ) ) ) )  ->  E. z  e.  On  ( g  Fn  z  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) ) )
1816, 17sylan 271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  z  e.  x )  /\  ( g  Fn  z  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) ) )  ->  E. z  e.  On  ( g  Fn  z  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) ) )
19 tfrlemisucfn.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( F `  ( f  |`  y
) ) ) }
20 vex 2577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  g  e. 
_V
2119, 20tfrlem3a 5956 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  e.  A  <->  E. z  e.  On  ( g  Fn  z  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) ) )
2218, 21sylibr 141 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  z  e.  x )  /\  ( g  Fn  z  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) ) )  ->  g  e.  A )
23223adant1 933 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  On  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) ) )  ->  g  e.  A
)
2414, 15, 233jca 1095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  On  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) ) )  ->  ( z  e.  x  /\  g  Fn  z  /\  g  e.  A ) )
25 snexg 3964 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
z ,  ( F `
 g ) >.  e.  _V  ->  { <. z ,  ( F `  g ) >. }  e.  _V )
26 unexg 4206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  e.  _V  /\  {
<. z ,  ( F `
 g ) >. }  e.  _V )  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  e.  _V )
2720, 26mpan 408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( {
<. z ,  ( F `
 g ) >. }  e.  _V  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  e.  _V )
289, 25, 273syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  e.  _V )
29 isset 2578 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  e.  _V  <->  E. h  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) )
3028, 29sylib 131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E. h  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) )
31303ad2ant1 936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  On  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) ) )  ->  E. h  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) )
32 simpr3 923 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  x  /\  ( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) ) )  ->  h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } ) )
33 19.8a 1498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g )
>. } ) )  ->  E. g ( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) ) )
34 rspe 2387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  x  /\  E. g ( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) ) )  ->  E. z  e.  x  E. g ( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) ) )
35 tfrlemi1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  B  =  { h  |  E. z  e.  x  E. g ( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) ) }
3635abeq2i 2164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( h  e.  B  <->  E. z  e.  x  E. g
( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) ) )
3734, 36sylibr 141 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  x  /\  E. g ( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) ) )  ->  h  e.  B
)
3833, 37sylan2 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  x  /\  ( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) ) )  ->  h  e.  B )
3932, 38eqeltrrd 2131 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  x  /\  ( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  (
g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) ) )  ->  (
g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  e.  B )
40393exp2 1133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  x  ->  (
g  Fn  z  -> 
( g  e.  A  ->  ( h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  e.  B
) ) ) )
41403imp 1109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  x  /\  g  Fn  z  /\  g  e.  A )  ->  ( h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  e.  B
) )
4241exlimdv 1716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  x  /\  g  Fn  z  /\  g  e.  A )  ->  ( E. h  h  =  ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  ->  (
g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  e.  B ) )
4324, 31, 42sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  On  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) ) )  ->  ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  e.  B
)
44 elunii 3613 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. z ,  ( F `
 g ) >.  e.  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  /\  (
g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  e.  B )  ->  <. z ,  ( F `
 g ) >.  e.  U. B )
4513, 43, 44syl2anc 397 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  On  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) ) )  ->  <. z ,  ( F `  g )
>.  e.  U. B )
46 opeq2 3578 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( F `  g )  ->  <. z ,  w >.  =  <. z ,  ( F `  g ) >. )
4746eleq1d 2122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( F `  g )  ->  ( <. z ,  w >.  e. 
U. B  <->  <. z ,  ( F `  g
) >.  e.  U. B
) )
4847spcegv 2658 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  g )  e.  _V  ->  ( <. z ,  ( F `
 g ) >.  e.  U. B  ->  E. w <. z ,  w >.  e. 
U. B ) )
497eldm2 4561 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  dom  U. B  <->  E. w <. z ,  w >.  e.  U. B )
5048, 49syl6ibr 155 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  g )  e.  _V  ->  ( <. z ,  ( F `
 g ) >.  e.  U. B  ->  z  e.  dom  U. B ) )
516, 45, 50sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  On  /\  z  e.  x )  /\  (
g  Fn  z  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) ) )  ->  z  e.  dom  U. B )
52513expia 1117 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  On  /\  z  e.  x ) )  -> 
( ( g  Fn  z  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) )  ->  z  e.  dom  U. B ) )
5352exlimdv 1716 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  On  /\  z  e.  x ) )  -> 
( E. g ( g  Fn  z  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  -> 
z  e.  dom  U. B ) )
5453anassrs 386 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  On )  /\  z  e.  x )  ->  ( E. g ( g  Fn  z  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) )  ->  z  e.  dom  U. B ) )
5554ralimdva 2404 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  On )  ->  ( A. z  e.  x  E. g ( g  Fn  z  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) )  ->  A. z  e.  x  z  e.  dom  U. B
) )
562, 55mpdan 406 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  x  E. g ( g  Fn  z  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  ->  A. z  e.  x  z  e.  dom  U. B
) )
571, 56mpd 13 . 2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  x  z  e.  dom  U. B
)
58 dfss3 2963 . 2  |-  ( x 
C_  dom  U. B  <->  A. z  e.  x  z  e.  dom  U. B )
5957, 58sylibr 141 1  |-  ( ph  ->  x  C_  dom  U. B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    /\ w3a 896   A.wal 1257    = wceq 1259   E.wex 1397    e. wcel 1409   {cab 2042   A.wral 2323   E.wrex 2324   _Vcvv 2574    u. cun 2943    C_ wss 2945   {csn 3403   <.cop 3406   U.cuni 3608   Oncon0 4128   dom cdm 4373    |` cres 4375   Fun wfun 4924    Fn wfn 4925   ` cfv 4930
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-tr 3883  df-iord 4131  df-on 4133  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-res 4385  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-fv 4938
This theorem is referenced by:  tfrlemibfn  5973
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