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Theorem tfrlemisucaccv 5970
Description: We can extend an acceptable function by one element to produce an acceptable function. Lemma for tfrlemi1 5977. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Mar-2019.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrlemisucfn.1  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( F `  ( f  |`  y
) ) ) }
tfrlemisucfn.2  |-  ( ph  ->  A. x ( Fun 
F  /\  ( F `  x )  e.  _V ) )
tfrlemisucfn.3  |-  ( ph  ->  z  e.  On )
tfrlemisucfn.4  |-  ( ph  ->  g  Fn  z )
tfrlemisucfn.5  |-  ( ph  ->  g  e.  A )
Assertion
Ref Expression
tfrlemisucaccv  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  e.  A
)
Distinct variable groups:    f, g, x, y, z, A    f, F, g, x, y, z    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x, z, f, g)

Proof of Theorem tfrlemisucaccv
Dummy variables  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tfrlemisucfn.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  z  e.  On )
2 suceloni 4255 . . . 4  |-  ( z  e.  On  ->  suc  z  e.  On )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  suc  z  e.  On )
4 tfrlemisucfn.1 . . . 4  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( F `  ( f  |`  y
) ) ) }
5 tfrlemisucfn.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x ( Fun 
F  /\  ( F `  x )  e.  _V ) )
6 tfrlemisucfn.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  g  Fn  z )
7 tfrlemisucfn.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  g  e.  A )
84, 5, 1, 6, 7tfrlemisucfn 5969 . . 3  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  Fn  suc  z )
9 vex 2577 . . . . . 6  |-  u  e. 
_V
109elsuc 4171 . . . . 5  |-  ( u  e.  suc  z  <->  ( u  e.  z  \/  u  =  z ) )
11 vex 2577 . . . . . . . . . . 11  |-  g  e. 
_V
124, 11tfrlem3a 5956 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  A  <->  E. v  e.  On  ( g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  ( g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u ) ) ) )
137, 12sylib 131 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E. v  e.  On  ( g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  ( g `  u
)  =  ( F `
 ( g  |`  u ) ) ) )
14 simprrr 500 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  On  /\  ( g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  (
g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  ->  A. u  e.  v  ( g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u ) ) )
15 simprrl 499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  On  /\  ( g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  (
g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  ->  g  Fn  v )
166adantr 265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  On  /\  ( g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  (
g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  ->  g  Fn  z )
17 fndmu 5028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  Fn  v  /\  g  Fn  z )  ->  v  =  z )
1815, 16, 17syl2anc 397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  On  /\  ( g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  (
g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  ->  v  =  z )
1918raleqdv 2528 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  On  /\  ( g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  (
g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  ->  ( A. u  e.  v  (
g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u
) )  <->  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u ) ) ) )
2014, 19mpbid 139 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  On  /\  ( g  Fn  v  /\  A. u  e.  v  (
g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u
) ) ) ) )  ->  A. u  e.  z  ( g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u ) ) )
2113, 20rexlimddv 2454 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. u  e.  z  ( g `  u
)  =  ( F `
 ( g  |`  u ) ) )
2221r19.21bi 2424 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  (
g `  u )  =  ( F `  ( g  |`  u
) ) )
23 elirrv 4300 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  u  e.  u
24 elequ2 1617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  u  ->  (
u  e.  z  <->  u  e.  u ) )
2523, 24mtbiri 610 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  u  ->  -.  u  e.  z )
2625necon2ai 2274 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  z  ->  z  =/=  u )
2726adantl 266 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  z  =/=  u )
28 fvunsng 5385 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  _V  /\  z  =/=  u )  -> 
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } ) `  u
)  =  ( g `
 u ) )
299, 27, 28sylancr 399 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) `  u
)  =  ( g `
 u ) )
30 eloni 4140 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  On  ->  Ord  z )
311, 30syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Ord  z )
32 ordelss 4144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  z  /\  u  e.  z )  ->  u  C_  z )
3331, 32sylan 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  u  C_  z )
34 resabs1 4668 . . . . . . . . . 10  |-  ( u 
C_  z  ->  (
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  |`  z
)  |`  u )  =  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  |`  u
) )
3533, 34syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  (
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  |`  z
)  |`  u )  =  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  |`  u
) )
36 elirrv 4300 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  z  e.  z
37 fsnunres 5392 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  Fn  z  /\  -.  z  e.  z
)  ->  ( (
g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  z )  =  g )
386, 36, 37sylancl 398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  |`  z
)  =  g )
3938reseq1d 4639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  z )  |`  u
)  =  ( g  |`  u ) )
4039adantr 265 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  (
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  |`  z
)  |`  u )  =  ( g  |`  u
) )
4135, 40eqtr3d 2090 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  |`  u
)  =  ( g  |`  u ) )
4241fveq2d 5210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  ( F `  ( (
g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  u ) )  =  ( F `  (
g  |`  u ) ) )
4322, 29, 423eqtr4d 2098 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) `  u
)  =  ( F `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  u ) ) )
445tfrlem3-2d 5959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Fun  F  /\  ( F `  g )  e.  _V ) )
4544simprd 111 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  g
)  e.  _V )
46 fndm 5026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  Fn  z  ->  dom  g  =  z )
476, 46syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  g  =  z )
4847eleq2d 2123 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( z  e.  dom  g 
<->  z  e.  z ) )
4936, 48mtbiri 610 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  dom  g )
50 fsnunfv 5391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  On  /\  ( F `  g )  e.  _V  /\  -.  z  e.  dom  g )  ->  ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) `
 z )  =  ( F `  g
) )
511, 45, 49, 50syl3anc 1146 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } ) `  z
)  =  ( F `
 g ) )
5251adantr 265 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  =  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) `  z
)  =  ( F `
 g ) )
53 simpr 107 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  =  z )  ->  u  =  z )
5453fveq2d 5210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  =  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) `  u
)  =  ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) `
 z ) )
55 reseq2 4635 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  z  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  |`  u
)  =  ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  z ) )
5655, 38sylan9eqr 2110 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  =  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  |`  u
)  =  g )
5756fveq2d 5210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  =  z )  ->  ( F `  ( (
g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  u ) )  =  ( F `  g
) )
5852, 54, 573eqtr4d 2098 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  =  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) `  u
)  =  ( F `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  u ) ) )
5943, 58jaodan 721 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  z  \/  u  =  z ) )  ->  ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) `
 u )  =  ( F `  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  |`  u
) ) )
6010, 59sylan2b 275 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  suc  z )  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) `  u
)  =  ( F `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  u ) ) )
6160ralrimiva 2409 . . 3  |-  ( ph  ->  A. u  e.  suc  z ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) `
 u )  =  ( F `  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  |`  u
) ) )
62 fneq2 5016 . . . . 5  |-  ( w  =  suc  z  -> 
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  Fn  w  <->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  Fn  suc  z ) )
63 raleq 2522 . . . . 5  |-  ( w  =  suc  z  -> 
( A. u  e.  w  ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) `
 u )  =  ( F `  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  |`  u
) )  <->  A. u  e.  suc  z ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) `
 u )  =  ( F `  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  |`  u
) ) ) )
6462, 63anbi12d 450 . . . 4  |-  ( w  =  suc  z  -> 
( ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  Fn  w  /\  A. u  e.  w  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) `  u
)  =  ( F `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  u ) ) )  <-> 
( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  Fn  suc  z  /\  A. u  e. 
suc  z ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) `
 u )  =  ( F `  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  |`  u
) ) ) ) )
6564rspcev 2673 . . 3  |-  ( ( suc  z  e.  On  /\  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  Fn  suc  z  /\  A. u  e. 
suc  z ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } ) `
 u )  =  ( F `  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  |`  u
) ) ) )  ->  E. w  e.  On  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } ) `  u
)  =  ( F `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  u ) ) ) )
663, 8, 61, 65syl12anc 1144 . 2  |-  ( ph  ->  E. w  e.  On  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } ) `  u
)  =  ( F `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  u ) ) ) )
67 vex 2577 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
68 opexg 3992 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( F `  g )  e.  _V )  ->  <. z ,  ( F `
 g ) >.  e.  _V )
6967, 45, 68sylancr 399 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. z ,  ( F `
 g ) >.  e.  _V )
70 snexg 3964 . . . . 5  |-  ( <.
z ,  ( F `
 g ) >.  e.  _V  ->  { <. z ,  ( F `  g ) >. }  e.  _V )
7169, 70syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. z ,  ( F `  g )
>. }  e.  _V )
72 unexg 4206 . . . 4  |-  ( ( g  e.  _V  /\  {
<. z ,  ( F `
 g ) >. }  e.  _V )  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  e.  _V )
7311, 71, 72sylancr 399 . . 3  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  e.  _V )
744tfrlem3ag 5955 . . 3  |-  ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  e.  _V  ->  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  e.  A  <->  E. w  e.  On  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } ) `  u
)  =  ( F `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  u ) ) ) ) )
7573, 74syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } )  e.  A  <->  E. w  e.  On  (
( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  Fn  w  /\  A. u  e.  w  ( ( g  u. 
{ <. z ,  ( F `  g )
>. } ) `  u
)  =  ( F `
 ( ( g  u.  { <. z ,  ( F `  g ) >. } )  |`  u ) ) ) ) )
7666, 75mpbird 160 1  |-  ( ph  ->  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } )  e.  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    \/ wo 639   A.wal 1257    = wceq 1259    e. wcel 1409   {cab 2042    =/= wne 2220   A.wral 2323   E.wrex 2324   _Vcvv 2574    u. cun 2943    C_ wss 2945   {csn 3403   <.cop 3406   Ord word 4127   Oncon0 4128   suc csuc 4130   dom cdm 4373    |` cres 4375   Fun wfun 4924    Fn wfn 4925   ` cfv 4930
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-sbc 2788  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-tr 3883  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-res 4385  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-fv 4938
This theorem is referenced by:  tfrlemibacc  5971  tfrlemi14d  5978
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