Theorem tpeq1 3609

Description: Equality theorem for unordered triples. (Contributed by NM, 13-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
tpeq1	|- ( A = B -> { A , C , D } = { B , C , D } )

Proof of Theorem tpeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq1 3600	. . 3 |- ( A = B -> { A , C } = { B , C } )
2	1	uneq1d 3229	. 2 |- ( A = B -> ( { A , C } u. { D } ) = ( { B , C } u. { D } ) )
3		df-tp 3535	. 2 |- { A , C , D } = ( { A , C } u. { D } )
4		df-tp 3535	. 2 |- { B , C , D } = ( { B , C } u. { D } )
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2197	1 |- ( A = B -> { A , C , D } = { B , C , D } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   u. cun 3069   {csn 3527   {cpr 3528   {ctp 3529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-un 3075  df-sn 3533  df-pr 3534  df-tp 3535

This theorem is referenced by:  tpeq1d  3612