ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tposmpt2 Unicode version

Theorem tposmpt2 5952
Description: Transposition of a two-argument mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tposmpt2.1  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
Assertion
Ref Expression
tposmpt2  |- tpos  F  =  ( y  e.  B ,  x  e.  A  |->  C )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    C( x, y)    F( x, y)

Proof of Theorem tposmpt2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tposmpt2.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
2 df-mpt2 5570 . . . 4  |-  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )  =  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C
) }
3 ancom 262 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  <->  ( y  e.  B  /\  x  e.  A )
)
43anbi1i 446 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  z  =  C )  <->  ( (
y  e.  B  /\  x  e.  A )  /\  z  =  C
) )
54oprabbii 5613 . . . 4  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  z  =  C ) }  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( y  e.  B  /\  x  e.  A )  /\  z  =  C ) }
61, 2, 53eqtri 2107 . . 3  |-  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( y  e.  B  /\  x  e.  A )  /\  z  =  C ) }
76tposoprab 5951 . 2  |- tpos  F  =  { <. <. y ,  x >. ,  z >.  |  ( ( y  e.  B  /\  x  e.  A
)  /\  z  =  C ) }
8 df-mpt2 5570 . 2  |-  ( y  e.  B ,  x  e.  A  |->  C )  =  { <. <. y ,  x >. ,  z >.  |  ( ( y  e.  B  /\  x  e.  A )  /\  z  =  C ) }
97, 8eqtr4i 2106 1  |- tpos  F  =  ( y  e.  B ,  x  e.  A  |->  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   {coprab 5566    |-> cmpt2 5567  tpos ctpos 5915
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-id 4077  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-fv 4961  df-oprab 5569  df-mpt2 5570  df-tpos 5916
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator