ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tposssxp Unicode version

Theorem tposssxp 5919
Description: The transposition is a subset of a cross product. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
tposssxp  |- tpos  F  C_  ( ( `' dom  F  u.  { (/) } )  X.  ran  F )

Proof of Theorem tposssxp
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-tpos 5915 . . 3  |- tpos  F  =  ( F  o.  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) )
2 cossxp 4894 . . 3  |-  ( F  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  C_  ( dom  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  X.  ran  F )
31, 2eqsstri 3039 . 2  |- tpos  F  C_  ( dom  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )  X.  ran  F )
4 eqid 2083 . . . 4  |-  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } )  =  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )
54dmmptss 4868 . . 3  |-  dom  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) 
C_  ( `' dom  F  u.  { (/) } )
6 xpss1 4497 . . 3  |-  ( dom  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) 
C_  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  ->  ( dom  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  X.  ran  F ) 
C_  ( ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  X.  ran  F ) )
75, 6ax-mp 7 . 2  |-  ( dom  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  X.  ran  F ) 
C_  ( ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  X.  ran  F )
83, 7sstri 3018 1  |- tpos  F  C_  ( ( `' dom  F  u.  { (/) } )  X.  ran  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    u. cun 2981    C_ wss 2983   (/)c0 3268   {csn 3417   U.cuni 3622    |-> cmpt 3860    X. cxp 4390   `'ccnv 4391   dom cdm 4392   ran crn 4393    o. ccom 4396  tpos ctpos 5914
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2612  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-tpos 5915
This theorem is referenced by:  reltpos  5920  tposexg  5928
  Copyright terms: Public domain W3C validator