Theorem tpossym 6173

Description: Two ways to say a function is symmetric. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tpossym	|- ( F Fn ( A X. A ) -> (tpos F = F <-> A. x e. A A. y e. A ( x F y ) = ( y F x ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, F, y

Proof of Theorem tpossym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposfn 6170	. . 3 |- ( F Fn ( A X. A ) -> tpos F Fn ( A X. A ) )
2		eqfnov2 5878	. . 3 |- ( (tpos F Fn ( A X. A ) /\ F Fn ( A X. A ) ) -> (tpos F = F <-> A. x e. A A. y e. A ( xtpos F y ) = ( x F y ) ) )
3	1, 2	mpancom 418	. 2 |- ( F Fn ( A X. A ) -> (tpos F = F <-> A. x e. A A. y e. A ( xtpos F y ) = ( x F y ) ) )
4		eqcom 2141	. . . 4 |- ( ( xtpos F y ) = ( x F y ) <-> ( x F y ) = ( xtpos F y ) )
5		vex 2689	. . . . . 6 |- x e. _V
6		vex 2689	. . . . . 6 |- y e. _V
7		ovtposg 6156	. . . . . 6 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V ) -> ( xtpos F y ) = ( y F x ) )
8	5, 6, 7	mp2an 422	. . . . 5 |- ( xtpos F y ) = ( y F x )
9	8	eqeq2i 2150	. . . 4 |- ( ( x F y ) = ( xtpos F y ) <-> ( x F y ) = ( y F x ) )
10	4, 9	bitri 183	. . 3 |- ( ( xtpos F y ) = ( x F y ) <-> ( x F y ) = ( y F x ) )
11	10	2ralbii 2443	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. A ( xtpos F y ) = ( x F y ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x F y ) = ( y F x ) )
12	3, 11	syl6bb 195	1 |- ( F Fn ( A X. A ) -> (tpos F = F <-> A. x e. A A. y e. A ( x F y ) = ( y F x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   _Vcvv 2686   X. cxp 4537   Fn wfn 5118  (class class class)co 5774  tpos ctpos 6141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fo 5129  df-fv 5131  df-ov 5777  df-tpos 6142

This theorem is referenced by:  xmettpos  12539