ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tpostpos2 Unicode version

Theorem tpostpos2 5911
Description: Value of the double transposition for a relation on triples. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tpostpos2  |-  ( ( Rel  F  /\  Rel  dom 
F )  -> tpos tpos  F  =  F )

Proof of Theorem tpostpos2
StepHypRef Expression
1 tpostpos 5910 . 2  |- tpos tpos  F  =  ( F  i^i  (
( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  X.  _V )
)
2 relrelss 4872 . . . 4  |-  ( ( Rel  F  /\  Rel  dom 
F )  <->  F  C_  (
( _V  X.  _V )  X.  _V ) )
3 ssun1 3134 . . . . . 6  |-  ( _V 
X.  _V )  C_  (
( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )
4 xpss1 4476 . . . . . 6  |-  ( ( _V  X.  _V )  C_  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  ->  ( ( _V  X.  _V )  X. 
_V )  C_  (
( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  X.  _V )
)
53, 4ax-mp 7 . . . . 5  |-  ( ( _V  X.  _V )  X.  _V )  C_  (
( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  X.  _V )
6 sstr 2981 . . . . 5  |-  ( ( F  C_  ( ( _V  X.  _V )  X. 
_V )  /\  (
( _V  X.  _V )  X.  _V )  C_  ( ( ( _V 
X.  _V )  u.  { (/)
} )  X.  _V ) )  ->  F  C_  ( ( ( _V 
X.  _V )  u.  { (/)
} )  X.  _V ) )
75, 6mpan2 409 . . . 4  |-  ( F 
C_  ( ( _V 
X.  _V )  X.  _V )  ->  F  C_  (
( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  X.  _V )
)
82, 7sylbi 118 . . 3  |-  ( ( Rel  F  /\  Rel  dom 
F )  ->  F  C_  ( ( ( _V 
X.  _V )  u.  { (/)
} )  X.  _V ) )
9 df-ss 2959 . . 3  |-  ( F 
C_  ( ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  X. 
_V )  <->  ( F  i^i  ( ( ( _V 
X.  _V )  u.  { (/)
} )  X.  _V ) )  =  F )
108, 9sylib 131 . 2  |-  ( ( Rel  F  /\  Rel  dom 
F )  ->  ( F  i^i  ( ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  X. 
_V ) )  =  F )
111, 10syl5eq 2100 1  |-  ( ( Rel  F  /\  Rel  dom 
F )  -> tpos tpos  F  =  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    = wceq 1259   _Vcvv 2574    u. cun 2943    i^i cin 2944    C_ wss 2945   (/)c0 3252   {csn 3403    X. cxp 4371   dom cdm 4373   Rel wrel 4378  tpos ctpos 5890
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-fv 4938  df-tpos 5891
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator