ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  trin2 Unicode version

Theorem trin2 4744
Description: The intersection of two transitive classes is transitive. (Contributed by FL, 31-Jul-2009.)
Assertion
Ref Expression
trin2  |-  ( ( ( R  o.  R
)  C_  R  /\  ( S  o.  S
)  C_  S )  ->  ( ( R  i^i  S )  o.  ( R  i^i  S ) ) 
C_  ( R  i^i  S ) )

Proof of Theorem trin2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cotr 4734 . . . 4  |-  ( ( R  o.  R ) 
C_  R  <->  A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )
2 cotr 4734 . . . . . 6  |-  ( ( S  o.  S ) 
C_  S  <->  A. x A. y A. z ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S
z ) )
3 brin 3839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x ( R  i^i  S
) y  <->  ( x R y  /\  x S y ) )
4 brin 3839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y ( R  i^i  S
) z  <->  ( y R z  /\  y S z ) )
5 simpr 107 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S z )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  ->  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
6 simpl 106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S z )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  ->  ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S z ) )
75, 6anim12d 322 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S z )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  ->  ( ( ( x R y  /\  y R z )  /\  ( x S y  /\  y S z ) )  ->  (
x R z  /\  x S z ) ) )
87com12 30 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x R y  /\  y R z )  /\  ( x S y  /\  y S z ) )  ->  ( ( ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S
z )  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  -> 
( x R z  /\  x S z ) ) )
98an4s 530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x R y  /\  x S y )  /\  ( y R z  /\  y S z ) )  ->  ( ( ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S
z )  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  -> 
( x R z  /\  x S z ) ) )
103, 4, 9syl2anb 279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x ( R  i^i  S ) y  /\  y
( R  i^i  S
) z )  -> 
( ( ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S z )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  ->  ( x R z  /\  x S z ) ) )
1110com12 30 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S z )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  ->  ( ( x ( R  i^i  S
) y  /\  y
( R  i^i  S
) z )  -> 
( x R z  /\  x S z ) ) )
12 brin 3839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x ( R  i^i  S
) z  <->  ( x R z  /\  x S z ) )
1311, 12syl6ibr 155 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S z )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  ->  ( ( x ( R  i^i  S
) y  /\  y
( R  i^i  S
) z )  ->  x ( R  i^i  S ) z ) )
1413alanimi 1364 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. z ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S z )  /\  A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  ->  A. z ( ( x ( R  i^i  S ) y  /\  y
( R  i^i  S
) z )  ->  x ( R  i^i  S ) z ) )
1514alanimi 1364 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y A. z
( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S z )  /\  A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  ->  A. y A. z ( ( x ( R  i^i  S ) y  /\  y ( R  i^i  S ) z )  ->  x ( R  i^i  S ) z ) )
1615alanimi 1364 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x A. y A. z ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S z )  /\  A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  ->  A. x A. y A. z ( ( x ( R  i^i  S
) y  /\  y
( R  i^i  S
) z )  ->  x ( R  i^i  S ) z ) )
1716ex 112 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y A. z
( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S z )  -> 
( A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z )  ->  A. x A. y A. z ( ( x ( R  i^i  S
) y  /\  y
( R  i^i  S
) z )  ->  x ( R  i^i  S ) z ) ) )
182, 17sylbi 118 . . . . 5  |-  ( ( S  o.  S ) 
C_  S  ->  ( A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z )  ->  A. x A. y A. z ( ( x ( R  i^i  S
) y  /\  y
( R  i^i  S
) z )  ->  x ( R  i^i  S ) z ) ) )
1918com12 30 . . . 4  |-  ( A. x A. y A. z
( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z )  -> 
( ( S  o.  S )  C_  S  ->  A. x A. y A. z ( ( x ( R  i^i  S
) y  /\  y
( R  i^i  S
) z )  ->  x ( R  i^i  S ) z ) ) )
201, 19sylbi 118 . . 3  |-  ( ( R  o.  R ) 
C_  R  ->  (
( S  o.  S
)  C_  S  ->  A. x A. y A. z ( ( x ( R  i^i  S
) y  /\  y
( R  i^i  S
) z )  ->  x ( R  i^i  S ) z ) ) )
2120imp 119 . 2  |-  ( ( ( R  o.  R
)  C_  R  /\  ( S  o.  S
)  C_  S )  ->  A. x A. y A. z ( ( x ( R  i^i  S
) y  /\  y
( R  i^i  S
) z )  ->  x ( R  i^i  S ) z ) )
22 cotr 4734 . 2  |-  ( ( ( R  i^i  S
)  o.  ( R  i^i  S ) ) 
C_  ( R  i^i  S )  <->  A. x A. y A. z ( ( x ( R  i^i  S
) y  /\  y
( R  i^i  S
) z )  ->  x ( R  i^i  S ) z ) )
2321, 22sylibr 141 1  |-  ( ( ( R  o.  R
)  C_  R  /\  ( S  o.  S
)  C_  S )  ->  ( ( R  i^i  S )  o.  ( R  i^i  S ) ) 
C_  ( R  i^i  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101   A.wal 1257    i^i cin 2944    C_ wss 2945   class class class wbr 3792    o. ccom 4377
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-br 3793  df-opab 3847  df-xp 4379  df-rel 4380  df-co 4382
This theorem is referenced by:  trinxp  4746
  Copyright terms: Public domain W3C validator