Theorem undif3ss 3332

Description: A subset relationship involving class union and class difference. In classical logic, this would be equality rather than subset, as in the first equality of Exercise 13 of [TakeutiZaring] p. 22. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
undif3ss	|- ( A u. ( B \ C ) ) C_ ( ( A u. B ) \ ( C \ A ) )

Proof of Theorem undif3ss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 3212	. . . 4 |- ( x e. ( A u. ( B \ C ) ) <-> ( x e. A \/ x e. ( B \ C ) ) )
2		eldif 3075	. . . . 5 |- ( x e. ( B \ C ) <-> ( x e. B /\ -. x e. C ) )
3	2	orbi2i 751	. . . 4 |- ( ( x e. A \/ x e. ( B \ C ) ) <-> ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) )
4		orc 701	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( x e. A \/ x e. B ) )
5		olc 700	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( -. x e. C \/ x e. A ) )
6	4, 5	jca 304	. . . . . 6 |- ( x e. A -> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( -. x e. C \/ x e. A ) ) )
7		olc 700	. . . . . . 7 |- ( x e. B -> ( x e. A \/ x e. B ) )
8		orc 701	. . . . . . 7 |- ( -. x e. C -> ( -. x e. C \/ x e. A ) )
9	7, 8	anim12i 336	. . . . . 6 |- ( ( x e. B /\ -. x e. C ) -> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( -. x e. C \/ x e. A ) ) )
10	6, 9	jaoi 705	. . . . 5 |- ( ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) -> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( -. x e. C \/ x e. A ) ) )
11		simpl 108	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ -. x e. C ) -> x e. A )
12	11	orcd 722	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ -. x e. C ) -> ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) )
13		olc 700	. . . . . 6 |- ( ( x e. B /\ -. x e. C ) -> ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) )
14		orc 701	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) )
15	14	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ x e. A ) -> ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) )
16	14	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( x e. B /\ x e. A ) -> ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) )
17	12, 13, 15, 16	ccase 948	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( -. x e. C \/ x e. A ) ) -> ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) )
18	10, 17	impbii 125	. . . 4 |- ( ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( -. x e. C \/ x e. A ) ) )
19	1, 3, 18	3bitri 205	. . 3 |- ( x e. ( A u. ( B \ C ) ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( -. x e. C \/ x e. A ) ) )
20		elun 3212	. . . . . 6 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
21	20	biimpri 132	. . . . 5 |- ( ( x e. A \/ x e. B ) -> x e. ( A u. B ) )
22		pm4.53r 740	. . . . . 6 |- ( ( -. x e. C \/ x e. A ) -> -. ( x e. C /\ -. x e. A ) )
23		eldif 3075	. . . . . 6 |- ( x e. ( C \ A ) <-> ( x e. C /\ -. x e. A ) )
24	22, 23	sylnibr 666	. . . . 5 |- ( ( -. x e. C \/ x e. A ) -> -. x e. ( C \ A ) )
25	21, 24	anim12i 336	. . . 4 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( -. x e. C \/ x e. A ) ) -> ( x e. ( A u. B ) /\ -. x e. ( C \ A ) ) )
26		eldif 3075	. . . 4 |- ( x e. ( ( A u. B ) \ ( C \ A ) ) <-> ( x e. ( A u. B ) /\ -. x e. ( C \ A ) ) )
27	25, 26	sylibr 133	. . 3 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( -. x e. C \/ x e. A ) ) -> x e. ( ( A u. B ) \ ( C \ A ) ) )
28	19, 27	sylbi 120	. 2 |- ( x e. ( A u. ( B \ C ) ) -> x e. ( ( A u. B ) \ ( C \ A ) ) )
29	28	ssriv 3096	1 |- ( A u. ( B \ C ) ) C_ ( ( A u. B ) \ ( C \ A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   \/ wo 697   e. wcel 1480   \ cdif 3063   u. cun 3064   C_ wss 3066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079

This theorem is referenced by: (None)