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Theorem undif4 3395
Description: Distribute union over difference. (Contributed by NM, 17-May-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
undif4  |-  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  ->  ( A  u.  ( B  \  C ) )  =  ( ( A  u.  B )  \  C
) )

Proof of Theorem undif4
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm2.621 721 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  C
)  ->  ( (
x  e.  A  \/  -.  x  e.  C
)  ->  -.  x  e.  C ) )
2 olc 685 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  C  -> 
( x  e.  A  \/  -.  x  e.  C
) )
31, 2impbid1 141 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  C
)  ->  ( (
x  e.  A  \/  -.  x  e.  C
)  <->  -.  x  e.  C ) )
43anbi2d 459 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  C
)  ->  ( (
( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  /\  ( x  e.  A  \/  -.  x  e.  C )
)  <->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  -.  x  e.  C )
) )
5 eldif 3050 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( B  \  C )  <->  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C ) )
65orbi2i 736 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  C ) )  <->  ( x  e.  A  \/  (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
7 ordi 790 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) )  <->  ( (
x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( x  e.  A  \/  -.  x  e.  C
) ) )
86, 7bitri 183 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  C ) )  <->  ( (
x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( x  e.  A  \/  -.  x  e.  C
) ) )
9 elun 3187 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
109anbi1i 453 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  -.  x  e.  C
)  <->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  -.  x  e.  C )
)
114, 8, 103bitr4g 222 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  C
)  ->  ( (
x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  C ) )  <->  ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  -.  x  e.  C ) ) )
12 elun 3187 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  C ) )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  C
) ) )
13 eldif 3050 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( A  u.  B )  \  C )  <->  ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  -.  x  e.  C ) )
1411, 12, 133bitr4g 222 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  C
)  ->  ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  C ) )  <-> 
x  e.  ( ( A  u.  B ) 
\  C ) ) )
1514alimi 1416 . 2  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  C )  ->  A. x
( x  e.  ( A  u.  ( B 
\  C ) )  <-> 
x  e.  ( ( A  u.  B ) 
\  C ) ) )
16 disj1 3383 . 2  |-  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  <->  A. x ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  C )
)
17 dfcleq 2111 . 2  |-  ( ( A  u.  ( B 
\  C ) )  =  ( ( A  u.  B )  \  C )  <->  A. x
( x  e.  ( A  u.  ( B 
\  C ) )  <-> 
x  e.  ( ( A  u.  B ) 
\  C ) ) )
1815, 16, 173imtr4i 200 1  |-  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  ->  ( A  u.  ( B  \  C ) )  =  ( ( A  u.  B )  \  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 682   A.wal 1314    = wceq 1316    e. wcel 1465    \ cdif 3038    u. cun 3039    i^i cin 3040   (/)c0 3333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-nul 3334
This theorem is referenced by:  phplem1  6714
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