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Theorem undif4 3313
Description: Distribute union over difference. (Contributed by NM, 17-May-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
undif4  |-  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  ->  ( A  u.  ( B  \  C ) )  =  ( ( A  u.  B )  \  C
) )

Proof of Theorem undif4
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm2.621 699 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  C
)  ->  ( (
x  e.  A  \/  -.  x  e.  C
)  ->  -.  x  e.  C ) )
2 olc 665 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  C  -> 
( x  e.  A  \/  -.  x  e.  C
) )
31, 2impbid1 140 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  C
)  ->  ( (
x  e.  A  \/  -.  x  e.  C
)  <->  -.  x  e.  C ) )
43anbi2d 452 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  C
)  ->  ( (
( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  /\  ( x  e.  A  \/  -.  x  e.  C )
)  <->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  -.  x  e.  C )
) )
5 eldif 2983 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( B  \  C )  <->  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C ) )
65orbi2i 712 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  C ) )  <->  ( x  e.  A  \/  (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) ) )
7 ordi 763 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  \/  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) )  <->  ( (
x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( x  e.  A  \/  -.  x  e.  C
) ) )
86, 7bitri 182 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  C ) )  <->  ( (
x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  ( x  e.  A  \/  -.  x  e.  C
) ) )
9 elun 3114 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
109anbi1i 446 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  /\  -.  x  e.  C
)  <->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  /\  -.  x  e.  C )
)
114, 8, 103bitr4g 221 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  C
)  ->  ( (
x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  C ) )  <->  ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  -.  x  e.  C ) ) )
12 elun 3114 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  C ) )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  C
) ) )
13 eldif 2983 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( A  u.  B )  \  C )  <->  ( x  e.  ( A  u.  B
)  /\  -.  x  e.  C ) )
1411, 12, 133bitr4g 221 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  C
)  ->  ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  C ) )  <-> 
x  e.  ( ( A  u.  B ) 
\  C ) ) )
1514alimi 1385 . 2  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  C )  ->  A. x
( x  e.  ( A  u.  ( B 
\  C ) )  <-> 
x  e.  ( ( A  u.  B ) 
\  C ) ) )
16 disj1 3301 . 2  |-  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  <->  A. x ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  C )
)
17 dfcleq 2076 . 2  |-  ( ( A  u.  ( B 
\  C ) )  =  ( ( A  u.  B )  \  C )  <->  A. x
( x  e.  ( A  u.  ( B 
\  C ) )  <-> 
x  e.  ( ( A  u.  B ) 
\  C ) ) )
1815, 16, 173imtr4i 199 1  |-  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  ->  ( A  u.  ( B  \  C ) )  =  ( ( A  u.  B )  \  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662   A.wal 1283    = wceq 1285    e. wcel 1434    \ cdif 2971    u. cun 2972    i^i cin 2973   (/)c0 3258
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-nul 3259
This theorem is referenced by:  phplem1  6387
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