ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  undiffi Unicode version

Theorem undiffi 6470
Description: Union of complementary parts into whole. This is a case where we can strengthen undifss 3340 from subset to equality. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
undiffi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )

Proof of Theorem undiffi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fidceq 6426 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  x  e.  A  /\  y  e.  A )  -> DECID  x  =  y )
213expb 1140 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  -> DECID  x  =  y
)
32ralrimivva 2448 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y
)
4 undifdc 6469 . 2  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e. 
Fin  /\  B  C_  A
)  ->  A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
53, 4syl3an1 1203 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4  DECID wdc 776    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2353    \ cdif 2980    u. cun 2981    C_ wss 2983   Fincfn 6309
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-iinf 4358
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-if 3370  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-id 4077  df-iord 4150  df-on 4152  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-er 6194  df-en 6310  df-fin 6312
This theorem is referenced by:  unfiin  6471  fihashssdif  9878
  Copyright terms: Public domain W3C validator