ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unfidisj Unicode version

Theorem unfidisj 6466
Description: The union of two disjoint finite sets is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
unfidisj  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  u.  B )  e. 
Fin )

Proof of Theorem unfidisj
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uneq2 3130 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A  u.  w )  =  ( A  u.  (/) ) )
21eleq1d 2151 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( A  u.  w )  e.  Fin  <->  ( A  u.  (/) )  e.  Fin ) )
3 uneq2 3130 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  ( A  u.  w )  =  ( A  u.  y ) )
43eleq1d 2151 . 2  |-  ( w  =  y  ->  (
( A  u.  w
)  e.  Fin  <->  ( A  u.  y )  e.  Fin ) )
5 uneq2 3130 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A  u.  w )  =  ( A  u.  ( y  u.  { z } ) ) )
65eleq1d 2151 . 2  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( A  u.  w )  e. 
Fin 
<->  ( A  u.  (
y  u.  { z } ) )  e. 
Fin ) )
7 uneq2 3130 . . 3  |-  ( w  =  B  ->  ( A  u.  w )  =  ( A  u.  B ) )
87eleq1d 2151 . 2  |-  ( w  =  B  ->  (
( A  u.  w
)  e.  Fin  <->  ( A  u.  B )  e.  Fin ) )
9 un0 3294 . . 3  |-  ( A  u.  (/) )  =  A
10 simp1 939 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  A  e. 
Fin )
119, 10syl5eqel 2169 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  u.  (/) )  e.  Fin )
12 unass 3139 . . . 4  |-  ( ( A  u.  y )  u.  { z } )  =  ( A  u.  ( y  u. 
{ z } ) )
13 simpr 108 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  ( A  u.  y )  e.  Fin )
14 vex 2613 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
1514a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  z  e.  _V )
16 simplrr 503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  z  e.  ( B  \  y ) )
1716eldifad 2993 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  z  e.  B
)
18 simp3 941 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
1918ad3antrrr 476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
20 minel 3321 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  -.  z  e.  A )
2117, 19, 20syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  -.  z  e.  A )
2216eldifbd 2994 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  -.  z  e.  y )
23 ioran 702 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( z  e.  A  \/  z  e.  y
)  <->  ( -.  z  e.  A  /\  -.  z  e.  y ) )
2421, 22, 23sylanbrc 408 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  -.  ( z  e.  A  \/  z  e.  y ) )
25 elun 3123 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( A  u.  y )  <->  ( z  e.  A  \/  z  e.  y ) )
2624, 25sylnibr 635 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  -.  z  e.  ( A  u.  y
) )
27 unsnfi 6463 . . . . 5  |-  ( ( ( A  u.  y
)  e.  Fin  /\  z  e.  _V  /\  -.  z  e.  ( A  u.  y ) )  -> 
( ( A  u.  y )  u.  {
z } )  e. 
Fin )
2813, 15, 26, 27syl3anc 1170 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  ( ( A  u.  y )  u. 
{ z } )  e.  Fin )
2912, 28syl5eqelr 2170 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  ( A  u.  ( y  u.  {
z } ) )  e.  Fin )
3029ex 113 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  ->  ( ( A  u.  y )  e.  Fin  ->  ( A  u.  ( y  u.  {
z } ) )  e.  Fin ) )
31 simp2 940 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  B  e. 
Fin )
322, 4, 6, 8, 11, 30, 31findcard2sd 6448 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  u.  B )  e. 
Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 662    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   _Vcvv 2610    \ cdif 2979    u. cun 2980    i^i cin 2981    C_ wss 2982   (/)c0 3267   {csn 3416   Fincfn 6308
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-1o 6085  df-er 6193  df-en 6309  df-fin 6311
This theorem is referenced by:  unfiin  6470  prfidisj  6471  xpfi  6472  hashunlem  9880  hashun  9881
  Copyright terms: Public domain W3C validator