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Theorem unfiin 6471
Description: The union of two finite sets is finite if their intersection is. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
unfiin  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  e. 
Fin )  ->  ( A  u.  B )  e.  Fin )

Proof of Theorem unfiin
StepHypRef Expression
1 simpll 496 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
2 simpr 108 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )
3 inss1 3202 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  B )  C_  A
43a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( A  i^i  B
)  C_  A )
5 undiffi 6470 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  C_  A )  ->  A  =  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A  \  ( A  i^i  B ) ) ) )
61, 2, 4, 5syl3anc 1170 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  A  =  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A  \ 
( A  i^i  B
) ) ) )
7 simplr 497 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  B  e.  Fin )
8 inss2 3203 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  B )  C_  B
98a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( A  i^i  B
)  C_  B )
10 undiffi 6470 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  C_  B )  ->  B  =  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B  \  ( A  i^i  B ) ) ) )
117, 2, 9, 10syl3anc 1170 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  B  =  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B  \ 
( A  i^i  B
) ) ) )
126, 11uneq12d 3137 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( A  u.  B
)  =  ( ( ( A  i^i  B
)  u.  ( A 
\  ( A  i^i  B ) ) )  u.  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B 
\  ( A  i^i  B ) ) ) ) )
13 unundi 3143 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( ( A 
\  ( A  i^i  B ) )  u.  ( B  \  ( A  i^i  B ) ) ) )  =  ( ( ( A  i^i  B )  u.  ( A  \ 
( A  i^i  B
) ) )  u.  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B 
\  ( A  i^i  B ) ) ) )
1412, 13syl6eqr 2133 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( A  u.  B
)  =  ( ( A  i^i  B )  u.  ( ( A 
\  ( A  i^i  B ) )  u.  ( B  \  ( A  i^i  B ) ) ) ) )
15 diffifi 6451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  C_  A )  ->  ( A  \  ( A  i^i  B ) )  e.  Fin )
161, 2, 4, 15syl3anc 1170 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( A  \  ( A  i^i  B ) )  e.  Fin )
17 diffifi 6451 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  C_  B )  ->  ( B  \  ( A  i^i  B ) )  e.  Fin )
187, 2, 9, 17syl3anc 1170 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( B  \  ( A  i^i  B ) )  e.  Fin )
19 incom 3174 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  i^i  A )  =  ( A  i^i  B
)
2019difeq2i 3097 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
\  ( B  i^i  A ) )  =  ( B  \  ( A  i^i  B ) )
21 difin 3217 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
\  ( B  i^i  A ) )  =  ( B  \  A )
2220, 21eqtr3i 2105 . . . . . . . 8  |-  ( B 
\  ( A  i^i  B ) )  =  ( B  \  A )
2322ineq2i 3180 . . . . . . 7  |-  ( ( A  \  ( A  i^i  B ) )  i^i  ( B  \ 
( A  i^i  B
) ) )  =  ( ( A  \ 
( A  i^i  B
) )  i^i  ( B  \  A ) )
24 difss 3108 . . . . . . . 8  |-  ( A 
\  ( A  i^i  B ) )  C_  A
25 disjdif 3332 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/)
26 ssdisj 3316 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  \  ( A  i^i  B ) ) 
C_  A  /\  ( A  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/) )  ->  ( ( A  \  ( A  i^i  B ) )  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/) )
2724, 25, 26mp2an 417 . . . . . . 7  |-  ( ( A  \  ( A  i^i  B ) )  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/)
2823, 27eqtri 2103 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  ( A  i^i  B ) )  i^i  ( B  \ 
( A  i^i  B
) ) )  =  (/)
2928a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( ( A  \ 
( A  i^i  B
) )  i^i  ( B  \  ( A  i^i  B ) ) )  =  (/) )
30 unfidisj 6467 . . . . 5  |-  ( ( ( A  \  ( A  i^i  B ) )  e.  Fin  /\  ( B  \  ( A  i^i  B ) )  e.  Fin  /\  ( ( A  \ 
( A  i^i  B
) )  i^i  ( B  \  ( A  i^i  B ) ) )  =  (/) )  ->  ( ( A  \  ( A  i^i  B ) )  u.  ( B  \ 
( A  i^i  B
) ) )  e. 
Fin )
3116, 18, 29, 30syl3anc 1170 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( ( A  \ 
( A  i^i  B
) )  u.  ( B  \  ( A  i^i  B ) ) )  e. 
Fin )
32 difundir 3233 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  B ) 
\  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( A  \  ( A  i^i  B ) )  u.  ( B  \ 
( A  i^i  B
) ) )
3332ineq2i 3180 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( ( A  u.  B )  \ 
( A  i^i  B
) ) )  =  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( ( A  \  ( A  i^i  B ) )  u.  ( B  \ 
( A  i^i  B
) ) ) )
34 disjdif 3332 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( ( A  u.  B )  \ 
( A  i^i  B
) ) )  =  (/)
3533, 34eqtr3i 2105 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( ( A 
\  ( A  i^i  B ) )  u.  ( B  \  ( A  i^i  B ) ) ) )  =  (/)
3635a1i 9 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( ( A  \  ( A  i^i  B ) )  u.  ( B  \ 
( A  i^i  B
) ) ) )  =  (/) )
37 unfidisj 6467 . . . 4  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  e.  Fin  /\  ( ( A  \ 
( A  i^i  B
) )  u.  ( B  \  ( A  i^i  B ) ) )  e. 
Fin  /\  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( ( A  \ 
( A  i^i  B
) )  u.  ( B  \  ( A  i^i  B ) ) ) )  =  (/) )  ->  (
( A  i^i  B
)  u.  ( ( A  \  ( A  i^i  B ) )  u.  ( B  \ 
( A  i^i  B
) ) ) )  e.  Fin )
382, 31, 36, 37syl3anc 1170 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( ( A  i^i  B )  u.  ( ( A  \  ( A  i^i  B ) )  u.  ( B  \ 
( A  i^i  B
) ) ) )  e.  Fin )
3914, 38eqeltrd 2159 . 2  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )  ->  ( A  u.  B
)  e.  Fin )
40393impa 1134 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  e. 
Fin )  ->  ( A  u.  B )  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434    \ cdif 2979    u. cun 2980    i^i cin 2981    C_ wss 2982   (/)c0 3267   Fincfn 6309
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-1o 6086  df-er 6194  df-en 6310  df-fin 6312
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