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Theorem unidif0 3961
Description: The removal of the empty set from a class does not affect its union. (Contributed by NM, 22-Mar-2004.)
Assertion
Ref Expression
unidif0  |-  U. ( A  \  { (/) } )  =  U. A

Proof of Theorem unidif0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 3272 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  y  ->  -.  y  =  (/) )
21pm4.71i 383 . . . . . 6  |-  ( x  e.  y  <->  ( x  e.  y  /\  -.  y  =  (/) ) )
32anbi1i 446 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  <->  ( ( x  e.  y  /\  -.  y  =  (/) )  /\  y  e.  A ) )
4 an32 527 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A
)  /\  -.  y  =  (/) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  -.  y  =  (/) )  /\  y  e.  A )
)
5 anass 393 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A
)  /\  -.  y  =  (/) )  <->  ( x  e.  y  /\  (
y  e.  A  /\  -.  y  =  (/) ) ) )
63, 4, 53bitr2ri 207 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  =  (/) ) )  <->  ( x  e.  y  /\  y  e.  A ) )
76exbii 1537 . . 3  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  =  (/) ) )  <->  E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  A ) )
8 eluni 3624 . . . 4  |-  ( x  e.  U. ( A 
\  { (/) } )  <->  E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  \  { (/)
} ) ) )
9 eldif 2991 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( A  \  { (/) } )  <->  ( y  e.  A  /\  -.  y  e.  { (/) } ) )
10 velsn 3433 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { (/) }  <->  y  =  (/) )
1110notbii 627 . . . . . . . 8  |-  ( -.  y  e.  { (/) }  <->  -.  y  =  (/) )
1211anbi2i 445 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  -.  y  e.  { (/) } )  <->  ( y  e.  A  /\  -.  y  =  (/) ) )
139, 12bitri 182 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( A  \  { (/) } )  <->  ( y  e.  A  /\  -.  y  =  (/) ) )
1413anbi2i 445 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  \  { (/) } ) )  <-> 
( x  e.  y  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  =  (/) ) ) )
1514exbii 1537 . . . 4  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  \  { (/)
} ) )  <->  E. y
( x  e.  y  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  =  (/) ) ) )
168, 15bitri 182 . . 3  |-  ( x  e.  U. ( A 
\  { (/) } )  <->  E. y ( x  e.  y  /\  ( y  e.  A  /\  -.  y  =  (/) ) ) )
17 eluni 3624 . . 3  |-  ( x  e.  U. A  <->  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  A
) )
187, 16, 173bitr4i 210 . 2  |-  ( x  e.  U. ( A 
\  { (/) } )  <-> 
x  e.  U. A
)
1918eqriv 2080 1  |-  U. ( A  \  { (/) } )  =  U. A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 102    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434    \ cdif 2979   (/)c0 3267   {csn 3416   U.cuni 3621
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-v 2612  df-dif 2984  df-nul 3268  df-sn 3422  df-uni 3622
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