Theorem unidif0 4086

Description: The removal of the empty set from a class does not affect its union. (Contributed by NM, 22-Mar-2004.)

Assertion

Ref	Expression
unidif0	|- U. ( A \ { (/) } ) = U. A

Proof of Theorem unidif0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 3363	. . . . . . 7 |- ( x e. y -> -. y = (/) )
2	1	pm4.71i 388	. . . . . 6 |- ( x e. y <-> ( x e. y /\ -. y = (/) ) )
3	2	anbi1i 453	. . . . 5 |- ( ( x e. y /\ y e. A ) <-> ( ( x e. y /\ -. y = (/) ) /\ y e. A ) )
4		an32 551	. . . . 5 |- ( ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. y = (/) ) <-> ( ( x e. y /\ -. y = (/) ) /\ y e. A ) )
5		anass 398	. . . . 5 |- ( ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. y = (/) ) <-> ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y = (/) ) ) )
6	3, 4, 5	3bitr2ri 208	. . . 4 |- ( ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y = (/) ) ) <-> ( x e. y /\ y e. A ) )
7	6	exbii 1584	. . 3 |- ( E. y ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y = (/) ) ) <-> E. y ( x e. y /\ y e. A ) )
8		eluni 3734	. . . 4 |- ( x e. U. ( A \ { (/) } ) <-> E. y ( x e. y /\ y e. ( A \ { (/) } ) ) )
9		eldif 3075	. . . . . . 7 |- ( y e. ( A \ { (/) } ) <-> ( y e. A /\ -. y e. { (/) } ) )
10		velsn 3539	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { (/) } <-> y = (/) )
11	10	notbii 657	. . . . . . . 8 |- ( -. y e. { (/) } <-> -. y = (/) )
12	11	anbi2i 452	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ -. y e. { (/) } ) <-> ( y e. A /\ -. y = (/) ) )
13	9, 12	bitri 183	. . . . . 6 |- ( y e. ( A \ { (/) } ) <-> ( y e. A /\ -. y = (/) ) )
14	13	anbi2i 452	. . . . 5 |- ( ( x e. y /\ y e. ( A \ { (/) } ) ) <-> ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y = (/) ) ) )
15	14	exbii 1584	. . . 4 |- ( E. y ( x e. y /\ y e. ( A \ { (/) } ) ) <-> E. y ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y = (/) ) ) )
16	8, 15	bitri 183	. . 3 |- ( x e. U. ( A \ { (/) } ) <-> E. y ( x e. y /\ ( y e. A /\ -. y = (/) ) ) )
17		eluni 3734	. . 3 |- ( x e. U. A <-> E. y ( x e. y /\ y e. A ) )
18	7, 16, 17	3bitr4i 211	. 2 |- ( x e. U. ( A \ { (/) } ) <-> x e. U. A )
19	18	eqriv 2134	1 |- U. ( A \ { (/) } ) = U. A

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   \ cdif 3063   (/)c0 3358   {csn 3522   U.cuni 3731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-dif 3068  df-nul 3359  df-sn 3528  df-uni 3732

This theorem is referenced by: (None)