Theorem uniex2 4358

Description: The Axiom of Union using the standard abbreviation for union. Given any set x, its union y exists. (Contributed by NM, 4-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
uniex2	|- E. y y = U. x

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem uniex2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfun 4356	. . . 4 |- E. y A. z ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y )
2		eluni 3739	. . . . . . 7 |- ( z e. U. x <-> E. y ( z e. y /\ y e. x ) )
3	2	imbi1i 237	. . . . . 6 |- ( ( z e. U. x -> z e. y ) <-> ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y ) )
4	3	albii 1446	. . . . 5 |- ( A. z ( z e. U. x -> z e. y ) <-> A. z ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y ) )
5	4	exbii 1584	. . . 4 |- ( E. y A. z ( z e. U. x -> z e. y ) <-> E. y A. z ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y ) )
6	1, 5	mpbir 145	. . 3 |- E. y A. z ( z e. U. x -> z e. y )
7	6	bm1.3ii 4049	. 2 |- E. y A. z ( z e. y <-> z e. U. x )
8		dfcleq 2133	. . 3 |- ( y = U. x <-> A. z ( z e. y <-> z e. U. x ) )
9	8	exbii 1584	. 2 |- ( E. y y = U. x <-> E. y A. z ( z e. y <-> z e. U. x ) )
10	7, 9	mpbir 145	1 |- E. y y = U. x

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1329   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   U.cuni 3736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-uni 3737

This theorem is referenced by:  uniex  4359