Theorem uniexb 4389

Description: The Axiom of Union and its converse. A class is a set iff its union is a set. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
uniexb	|- ( A e. _V <-> U. A e. _V )

Proof of Theorem uniexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 4356	. 2 |- ( A e. _V -> U. A e. _V )
2		pwuni 4111	. . 3 |- A C_ ~P U. A
3		pwexg 4099	. . 3 |- ( U. A e. _V -> ~P U. A e. _V )
4		ssexg 4062	. . 3 |- ( ( A C_ ~P U. A /\ ~P U. A e. _V ) -> A e. _V )
5	2, 3, 4	sylancr 410	. 2 |- ( U. A e. _V -> A e. _V )
6	1, 5	impbii 125	1 |- ( A e. _V <-> U. A e. _V )

Syntax hints:   <-> wb 104   e. wcel 1480   _Vcvv 2681   C_ wss 3066   ~Pcpw 3505   U.cuni 3731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-un 4350

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-rex 2420  df-v 2683  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-uni 3732

This theorem is referenced by:  pwexb  4390  elpwpwel  4391  tfrlemibex  6219  tfr1onlembex  6235  tfrcllembex  6248  ixpexgg  6609  tgss2  12237  txbasex  12415