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Theorem uniin 3629
Description: The class union of the intersection of two classes. Exercise 4.12(n) of [Mendelson] p. 235. (Contributed by NM, 4-Dec-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
uniin  |-  U. ( A  i^i  B )  C_  ( U. A  i^i  U. B )

Proof of Theorem uniin
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 19.40 1563 . . . 4  |-  ( E. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  /\  (
x  e.  y  /\  y  e.  B )
)  ->  ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  /\  E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  B ) ) )
2 elin 3156 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( y  e.  A  /\  y  e.  B ) )
32anbi2i 445 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  i^i  B ) )  <->  ( x  e.  y  /\  (
y  e.  A  /\  y  e.  B )
) )
4 anandi 555 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( y  e.  A  /\  y  e.  B
) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  A )  /\  ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ) )
53, 4bitri 182 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  i^i  B ) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  A )  /\  ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ) )
65exbii 1537 . . . 4  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  i^i  B
) )  <->  E. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  /\  (
x  e.  y  /\  y  e.  B )
) )
7 eluni 3612 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. A  <->  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  A
) )
8 eluni 3612 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. B  <->  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  B
) )
97, 8anbi12i 448 . . . 4  |-  ( ( x  e.  U. A  /\  x  e.  U. B
)  <->  ( E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  A
)  /\  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ) )
101, 6, 93imtr4i 199 . . 3  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  i^i  B
) )  ->  (
x  e.  U. A  /\  x  e.  U. B
) )
11 eluni 3612 . . 3  |-  ( x  e.  U. ( A  i^i  B )  <->  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  i^i  B ) ) )
12 elin 3156 . . 3  |-  ( x  e.  ( U. A  i^i  U. B )  <->  ( x  e.  U. A  /\  x  e.  U. B ) )
1310, 11, 123imtr4i 199 . 2  |-  ( x  e.  U. ( A  i^i  B )  ->  x  e.  ( U. A  i^i  U. B ) )
1413ssriv 3004 1  |-  U. ( A  i^i  B )  C_  ( U. A  i^i  U. B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102   E.wex 1422    e. wcel 1434    i^i cin 2973    C_ wss 2974   U.cuni 3609
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-v 2604  df-in 2980  df-ss 2987  df-uni 3610
This theorem is referenced by: (None)
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